O gráfico mostra uma transformação sofrida por 4 mols de um gás perfeito a partir de um estado A, em que a temperatura é 500 K, até outro estado B, em que a temperatura vale 600 K. a) Determine as pressões inicial (pA) e final (pB) do gás. b) Calcule o trabalho realizado no processo. c) Esse trabalho é realizado pelo gás ou sobre o gás? Explique. (Dado: R = 8,31 J/mol K)
Soluções para a tarefa
por conveniência, eu vou chamar a pressão, a temperatura e o volume no estado A de Pa, Ta e Va, e, no estado B, de Pb, Tb e Vb.
dados:
n = 4 mols
A: Pa; Va = 0,2 m³; Ta = 500 K
B: Pb; Vb = 0,6 m³; Tb = 600 K
a) fórmula para os gases perfeitos:
PV = nRT
onde: P é a pressão (em pascal ou N/m²); V é o volume (em m³); n é o número de mols; R é a constante dos gases (em J/mol.K), dada pelo problema como 8,31; e T é a temperatura (em K).
letra a) para o estado inicial:
Pa*Va = n*R*Ta
Pa*0,2 = 4*8,31*500
Pa = 4*8,31*500/0,2
Pa = 20000*8,31/2
Pa = 10000*8,31
Pa = 83100 N/m².
para o estado final:
Pb*Vb = n*R*Tb
Pb*0,6 = 4*8,31*600
Pb = 4*8,31*600/0,6
Pb = 4*8,31*1000
Pb = 33240 N/m².
b) quando, numa transformação, a pressão for mantida constante, o cálculo do trabalho realizado no processo, quando de posse de um gráfico pressão x volume (P x V), pode ser encontrado da seguinte forma:
W = P*V
onde: W é o trabalho (em J); P é a pressão e V é o volume.
quando a pressão não é constante (como no caso desse problema), o trabalho pode ser encontrado pela área compreendida entre o eixo das abscissas (eixo x - horizontal) e a curva que representa a variação de estado (de A até B) (veja http://n.i.uol.com.br/licaodecasa/ensmed... para um exemplo; a área pintada do gráfico corresponde ao trabalho realizado na transformação de A para B).
|W| = A
nesse caso, a figura geométrica formada no gráfico é a de um trapézio. a área de um trapézio é dada por:
A = (B + b)h/2
onde: A é a área; B é a base maior; b é a base menor e h é a altura. nesse caso, B = Pa = 83100, b = Pb = 33240 e h = 0,4 (pois está entre os valores 0,2 e 0,6; 0,6 - 0,2 = 0,4). olhe no gráfico e desenhe a área para acompanhar o raciocínio.
logo, A = (83100 + 33240)*0,4/2
A = 116340*0,2
A = 23268
|W| = A
|W| = 23268 J
o trabalho de um gás pode ser tanto positivo (motor) quanto negativo (resistente).
- se houver aumento de volume, o trabalho é motor (positivo);
- se houver diminuição de volume, o trabalho é resistente (negativo).
como, nesse caso, há aumento de volume, o trabalho é positivo:
W = 23268 J.
c) esse trabalho é realizado pelo gás. quando há expansão (ou seja, aumento no volume) do gás, diz-se que o gás realiza trabalho (nesse caso, como o volume variou de 0,2 m³ para 0,6 m³, houve aumento).
se tivesse havido diminuição, o trabalho estaria sendo realizado sobre o gás.
a) Pa = 83100 N/m² e Pb = 33240 N/m².
Usaremos a fórmula para os gases ideais:
PV = nRT
onde:
P é a pressão (em pascal ou N/m²);
V é o volume (em m³); n é o número de mols;
R é a constante dos gases (em J/mol.K),
T é a temperatura (em K).
Pa*Va = n*R*Ta
Pa*0,2 = 4*8,31*500
Pa = 4*8,31*500/0,2
Pa = 20000*8,31/2
Pa = 10000*8,31
Pa = 83100 N/m².
para o estado final:
Pb*Vb = n*R*Tb
Pb*0,6 = 4*8,31*600
Pb = 4*8,31*600/0,6
Pb = 4*8,31*1000
Pb = 33240 N/m².
b) O trabalho realizado no processo, é: 23268 J.
sabemos que se trata de uma transformação com pressão constante, assim o cálculo do trabalho realizado no processo é feito da seguinte forma:
W = P*V
onde:
W é o trabalho (em J);
P é a pressão e V é o volume.
|W| = A
A = (B + b)h/2
onde:
A é a área;
B é a base maior;
b é a base menor e
h é a altura.
B = Pa = 83100,
b = Pb = 33240 e
h = 0,4
A = (83100 + 33240)*0,4/2
A = 116340*0,2
A = 23268
|W| = A
|W| = 23268 J
c) Esse trabalho é realizado pelo gás.
n = 4 mols
A: Pa; Va = 0,2 m³;
Ta = 500 K
B: Pb; Vb = 0,6 m³;
Tb = 600 K
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