Question

O gráfico de uma função z = f (x,y) é uma superfície no espaço tridimensional. Um plano tangente à superfície é um plano que a toca em um único ponto. Seja P (x0,y0,z0) um ponto da superfície, à equação do plano tangente à superfície será dada por




Determine a equação do plano tangente à superfície z0 = f (x,y) = x2 + 2y2 - 1 no ponto P (1,2,8).

Answer 1

Resposta: Alternativa 1:

2x + 8y - z - 10 = 0

Explicação passo-a-passo:

Explicação passo-a-passo:

Fazendo a derivada com relação a x e y

f'(x) =2x

f'(y) = 4y

Fazendo a gradiente com a relação a x

2(1) = 2

fazendo a gradiente com a relação a y

4y = 4(2) = 8

Montando os dados que temos na equação:

Fx(P)(x-x0) + Fy(P)(y-y0) - (z-z0)

2(x-1) + 8(y-2) - (z-8)

-Aplicando a distributiva:

2x-2 + 8y-16 -z+8

Chegamos ao resultado:

2x+8y-z-10=0

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Answer 2

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 8y - z = 10\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

     $\Large\begin{cases} f(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - 1\\P = (1, 2, 8)\end{cases}$

Organizando a equação, temos:

      $\Large\begin{cases} \rho: x^{2} + 2y^{2} - z - 1 = 0\\P = (1, 2, 8)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície devemos ter um ponto pertencente à superfície e um vetor normal passando pelo ponto, ou seja:

       $\Large\begin{cases} P = (X_{P},\,Y_{P},\,Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n},\,Y_{n},\,Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "P" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação da superfície. Então, temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{2} +2\cdot2^{2} - 8 - 1 = 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 8 - 8 - 1 = 0\end{gathered}$  

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

         Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o   ponto "P" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular a derivada parcial de "ρ" em termos de "x".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial \rho}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "y".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial \rho}{\partial x} = 2\cdot2\cdot y^{2 - 1} = 4y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "z".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial \rho}{\partial x} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla \rho(x, y, z) = \left(\frac{\partial \rho}{\partial x},\,\frac{\partial \rho}{\partial y},\,\frac{\partial \rho}{\partial z}\right)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x, 4y, -1)\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla \rho(x, y, z) = (2x, 4y, -1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal do plano pelo ponto "P".

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla \rho(P)\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot1, 4\cdot2, -1)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 8, -1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (2, 8, -8)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano tangente.

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quanto as coordenadas do vetor "n" na equação "I" temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + 8\cdot y + (-1)\cdot z = 2\cdot1 + 8\cdot2 + (-1)\cdot8\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 8y - z = 2 + 16 - 8\end{gathered}$        

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 8y - z = 10\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral do plano tangente é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x + 8y - z = 10\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: