Question

O gráfico da função quadrática f passa pelos pontos (2,5), (8,5) e (10,21). Obtenha f(x).

(Não sei por onde começar)

Answer 1

Resposta:

f(x) = x² - 10x + 21

Explicação passo-a-passo:

Se a função é quadrática, então podemos escrevê-la na forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0.

Substituindo os pontos dados na função, temos:

Ponto (2, 5) $\therefore$ x = 2 e y = 5:

a.2² + b.2 + c = 5 $\Rightarrow$ 4a + 2b + c = 5 (i)

Ponto (8, 5) $\therefore$ x = 8 e y = 5:

a.8² + b.8 + c = 5 $\Rightarrow$ 64a + 8b + c = 5 (ii)

Ponto (10, 21) $\therefore$ x = 10 e y = 21:

a.10² + b.10 + c = 21 $\Rightarrow$ 100a + 10b + c = 21 (iii)

Agora, note que (i) = (ii), pois ambas são iguais a 5. Assim, temos o seguinte:

(i) = (ii) $\Rightarrow$ 4a + 2b + c = 64a + 8b + c $\Rightarrow$ 4a + 2b = 64a + 8b $\Rightarrow$ 4a - 64a = 8b - 2b $\Rightarrow$ -60a = 6b $\Rightarrow$ 60a = -6b $\Rightarrow$ 10a = -b $\Rightarrow$ b = -10a

Agora, substituindo b por -10a em (iii) temos:

100a + 10b + c = 21 $\Rightarrow$ 100a + 10.(-10a) + c = 21 $\Rightarrow$ 100a - 100a + c = 21 $\Rightarrow$ c = 21

Agora, escolhendo (i) ou (ii) para substituir b por - 10a e c por 21, temos:

(i) $\Rightarrow$ 4a + 2.(-10a) + 21 = 5 $\Rightarrow$ 4a - 20a + 21 = 5 $\Rightarrow$ 4a - 20a = 5 - 21 $\Rightarrow$ -16a = -16 $\Rightarrow$ 16a = 16 $\Rightarrow$ a = 1

Como b = -10a, então b = -10.1 $\Rightarrow$ b = -10.

Agora, temos os valores de a, b e c conhecidos, e assim podemos substitui-los em f(x) = ax² + bx + c, ficando: f(x) = x² - 10x + 21.