Question

O gráfico abaixo representa a função f, definida por f(x) = log (x+k) na base 2, sendo k uma constante real.
dessa forma, qual é o perímetro do retângulo ABCD?

a) 3 u.c.
b) 7 u.c.
c) 9 u.c.
d) 10 u.c.
e) 12 u.c.​

Answer 1

Com os cálculos realizados concluímos que o perímetro é 7 u. c e tendo alternativa correta a letra B.

perímetro é a  soma do comprimento de todos os lados de uma figura geométrica.

Logaritmo de um numero positivo, em uma certa base positiva e diferente de 1, e expoente ao qual se deve elevar a base, de modo a se obter 0 numero. ( Vide a figura em anexo )

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf \log_a a = 1 ~ e ~ \log_a 1 = 0 }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \mathsf{f (x) = \log_2 \: (x + k ) }$

Analisando a figura do enunciado, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P_1 ( 2,0) \\ \sf k = \:? \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{f (x) = \log_2 \: (x + k ) }$

$\large \displaystyle \mathsf{f (2) = \log_2 \: (2 + k ) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \log_2 \: (2+k) = 0 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 2+ k = 2^0 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ k = 1 - 2 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf k = -\;1 }$

Determinar o valor  de x no ponto A:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P_2 ( x, - 1) \\ \sf x = \:? \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{f (x) = \log_2 \: (x + k ) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \log_2 \: (x - 1 ) = - 1 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{x - 1 = 2^{-1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \left ( \dfrac{1}{2} \right)^1 + 1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{1}{2} +1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{3}{2} }$

Determinar o valor de y no ponto  C.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P_3 ( 3, y) \\ \sf y = \:? \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{f (x) = \log_2 \: (x + k ) }$

$\large \displaystyle \mathsf{y = \log_2 \:2 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 1}$

Os pontos são: $\textstyle \sf \sf A \: ( 1{,}5; \: - 1 ), \: B\: (1{,}5; \:1 ), \: C\: ( 3; 1 ) , \: D\: (3; \:-1 )$.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf \overline{\sf AB} = 2 \: u. c \\ \sf \overline{\sf BC} = 1{,}5 \: u. c \\ \sf \overline{\sf CD} = 2 \: u. c \\ \sf \overline{\sf DA} = 1{,}5 \: u. c \end{cases} } }$

O perímetro do retângulo ABCD.

$\large \displaystyle \text { \sf Per{\'i}metro \mathsf{ = \overline{\sf AB} + \overline{\sf BC} + \overline{\sf CD} + \overline{\sf DA} } }$

$\large \displaystyle \text { \sf Per{\'i}metro \mathsf{ = 2 + 1{,}5 + 2 + 1{,}5 } }$

$\large \displaystyle \text { \sf Per{\'i}metro \mathsf{ = 3{,}5 + 3{,}5 } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf Per\acute{i}metro \: \mathsf{ = 7 \: u . c } }$

Alternativa correta a letra B.

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