Question

O forno a lenha nas pizzarias tem temperatura de 550°c. Após 7horas e meia de utilização o forno a lenha fica com a temperatura ambiente de 20°c. Determine a lei de formação e o domínio da função desta situação

Answer 1

Resposta:

Assim, a lei de formação da função será:

$f(t)=500.(\frac{1}{2})^\frac{t}{5}$

O domínio da função será o conjunto dos números reais "t" maiores ou iguais a zero, ou seja, "t" ∈ R, tal que t ≥ 0.

O contradomínio da função será o conjunto dos números reais "T" menores que 500 e maiores que 0, ou seja, "T" ∈ R, tal que 0 < T ≤ 500.

Por gentileza, acompanhar a Explicação.

Explicação passo a passo:

Antes de iniciarmos a resolução, observemos que o gráfico apresenta, no eixo das abscissas ou eixo 0x, os valores do tempo, em horas, e, no eixo das ordenadas ou eixo 0y, os valores de temperatura em graus Celsius.

Observemos, também, que o formato da curva não é uma reta e nem uma parábola. Portanto, a função não é de primeiro grau, nem de segundo grau.

O formato da curva corresponde à função exponencial, cuja lei de formação é assim definida:

$f(x) = a . b^{x}$, sendo "a" e "b" números reais quaisquer, mas com "b", que recebe o nome de base, sendo positivo e não nulo, e "x", seu expoente.

A função exponencial é uma função com domínio, no conjunto dos números reais, e contradomínio, no conjunto dos números reais positivos não nulos.

Feitas estas necessárias considerações teóricas, vamos à Tarefa.

No gráfico dado, temos valores de entrada, "tempo, em horas", com respectivos valores de saída, "temperatura, em graus Celsius".

Façamos uma Tabela com os valores conhecidos do gráfico:

Tempo, em horas             Temperatura, em graus Celsius

             0                                                 500

             5                                                 100

             7,5                                              20

Agora, com os valores presentes na Tabela montada, vamos encontrar a lei que rege a função exponencial da temperatura do forno, em função do tempo:

• Para t = 0 horas, T = 500 °C

$f(0) = 500\\f(0) = a.b^{0}\\500 = a.1\\500 = a\\a = 500$

• Para t = 5 horas, T = 100 °C

$f(5) = 100\\f(5) = 500.b^{5}\\\frac{100}{500} = b^{5}\\\frac{1}{2}=b^{5}\\\sqrt[5]{\frac{1}{2} } =\sqrt[5]{b^5}\\(\frac{1}{2})^\frac{1}{5}=b\\b=(\frac{1}{2})^\frac{1}{5}$

• Assim, a lei de formação da função será:

$f(t) = 500.[(\frac{1}{2})^\frac{1}{5}]^{t}\\f(t)=500.(\frac{1}{2})^\frac{t}{5}$

• O domínio da função será o conjunto dos números reais "t" maiores ou iguais a zero, ou seja, "t" ∈ R, tal que t ≥ 0.
• O contradomínio da função será o conjunto dos números reais "T" menores que 500 e maiores que 0, ou seja, "T" ∈ R, tal que 0 < T ≤ 500.