Question

O estudo das integrais pode ser útil no cálculo de área entre curvas. Seja a região delimitada pelas retas y=0, y=x³, x=0 e x=1. Assinale a alternativa, que contém a área dessa região.

A) 0,33 u.a
B) 0,50 u.a
C) 0,25 u.a
D) 0,20 u.a
E) 0,10 u.a

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

A área de uma região $R$ compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$, pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,\mathrm{d}A=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int_a^bf(x)-g(x)\,\mathrm{d}x}$.

Então, observe que no intervalo determinado pelas retas verticais $x=0$ e $x=1$, $x^3\geq0$. A integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^1x^3-0\,\mathrm{d}x}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1x^3\,\mathrm{d}x}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da potência

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores no expoente e denominador

$\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{1}{4}-0\\\\\\ \dfrac{1}{4}~\bold{u.~a}$

Esta é a área desta região e é a resposta contida na letra c).