Matemática, perguntado por enevoaro, 4 meses atrás

O domínio da Função \sqrt[]{\frac{x^{2} -x-6}{3x-6} } é

a) [-2,2[∪[3,+∞[
b) [-2,0]∪]2,3[
c) [0,2[∪[3,+∞[
d) ]-∞,-2]∪]2,3]
e) ]-∞,0[∪]2,3]

Soluções para a tarefa

Respondido por morgadoduarte23
1

Resposta:

Domínio = { x ∈ |R | [ - 2 ; 2 ) U  [ 3 ; + ∞ ) }

No anexo 2 tem o gráfico da função desta tarefa; como pode ver

ela é válida para [ - 2 ; 2 ) U  [ 3 ; + ∞ )  

Explicação passo a passo:

Para se perceber bem o cálculo do domínio há algumas regras que são

preciso dominar.

Observação 1 → Domínio de uma fração

A única restrição é que o denominador não pode ser iguala a zero

Observação 2 → Domínio de uma raiz quadrada

O radicando tem que ser maior ou igual a zero.

Observação 3 → Quando é que x pertence ao domínio de uma função?

Quando a cada valor possível de x existe um valor em y.

Resolução:

Como temos uma fração no radicando vamos fazer o estudo do seu sinal.

Denominador:

Da observação 1 temos que :

3x - 6 ≠ 0

3x ≠ 6

3x / 3 ≠ 6 / 3

x ≠ 2

3x - 6 tem que ser diferente de zero , quando x = 2

Numerador

x² – x – 6 = 0

Equação do 2º grau.

Usar Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ  ) / (2*a)        Δ = b² – 4 * a * c      a ≠ 0

a =  1

b = - 1

c = - 6

Δ = ( - 1 )² – 4 * 1 * ( - 6 ) = 1 + 24 = 25

√Δ = √25 = 5

x1 = ( - ( - 1 ) + 5 ) /(2*1)

x1 = ( 1 + 5 ) /2

x1 = 3

x2 = ( - ( - 1 ) - 5 ) / 2

x2 =( 1 – 5 ) / 2

x2 = - 2

Análise do sinal de

x² – x – 6 = 0

Função do 2º grau

Como a > 0 a concavidade está virada para cima

O sinal da função neste caso é:

Positivo nos intervalos à esquerda e direita de cada raiz

] - ∞  ; -2 [    ∪    ] 3 ; + ∞ [

Negativo entre as raízes

] – 2 ; 3 [

( ver com a representação gráfica em anexo 1 )

Análise do sinal do denominador

3x – 6

Tem um zero para x = 2

À esquerda de x = 2 a função tem sinal negativo

À direita do valor x = 2 o sinal é positivo

Combinar os sinais das duas funções

     

       x              | - ∞             | - 2 |            |  2  |           | 3 |      + ∞    

Numerador     | + + + + + +|  0  | - - - - - -| - - -| - - - -  | 0 |+ + + + +

Denominador | - - - -- - - - -| - - |- - - - - - |  0  | + + + + + + + + + + +

Fração             | - - - - -- - - -|  0 |+ + + + |  ss |- - - - - -| 0 | + + + + +

 

A fração do radicando é positiva ( ou nula ) de [ -2 ; 2 ) U  [ 3 ; + ∞ )

Observação 4 → Elementos de um radical

Exemplo :  \sqrt[3]{7^2}

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Bons estudos.

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( * ) multiplicação                  ( / ) divisão                  ( ± )  mais ou menos

( ∈ )  pertence a              ( |R )  conjunto dos números reais

( ∪ ) União ou reunião de conjuntos

[ -2 ; 2 )  neste conjunto o - 2 está incluído mas o 2 não

( > ) maior do que    ( R1 e R2 )  pontos aonde estão as raízes da função

f (x) = x² - x - 6

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Anexos:
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