Question

O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 10,00, em média 400 pessoas assistem ao concerto e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta em 900 espectadores. Qual deve ser o valor aproximado do desconto para que a arrecadação seja máxima ?

Answer 1

9,00⇒1300 pessoas   1,00 de desconto
8,00⇒2200 pessoas   2,00 de desconto
7,00⇒3100 pessoas   3,00 de desconto
6,00⇒4900 pessoas   4,00 de desconto
5,00⇒5800 pessoas   5,00 de desconto
4,00⇒6700 pessoas   6,00 de desconto
3,00⇒7600 pessoas   7,00 de desconto
2,00⇒8500 pessoas   8,00 de desconto
1,00⇒9400 pessoas   9,00 de desconto

resposta: 4,00 de desconto o fara arrecadar mais

Answer 2

A arrecadação "y" é dada em função do valor do ingresso (10-x), e o número de 
pessoas (400+900x), em que x é o desconto. Ou seja, para sabermos a arrecadação, basta multiplicar o valor dos ingressos pelo número de pessoas. Podemos representar essa situação através da seguinte função:

y = (10-x)*(400+900x)

Multiplicando os dados acima, teremos uma função do 2º grau:

y = -900x² + 8600x + 4000

Simplificando (dividindo por 100) temos:

y = -9x² + 86x + 40

Lembrando que "y" é a arrecadação e "x" é o desconto. Queremos o valor do desconto para que arrecadação máxima, ou seja, o valor "x" para que "y" tenha seu valor máximo.
Na função acima temos que:

a = -9
b = 86
c = 40

Lembrando que (x do vértice) : Xv = -b / 2a , vem:

Xv = -86 / 2*(-9)
Xv = -86 / -18
Xv = 4,7777777...

Logo, o valor do desconto "x" para que a arrecadação seja máxima é de aproximadamente R$4,77