Matemática, perguntado por odaautoeletrica, 2 meses atrás

o diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória continua X com função de densidade de probabilidade f(x)= 6x (1-x) , 0≤ x≤ 1.
calcule P (0 ≤ X ≤ 1/2) e assinale a alternativa correta
a) 0
b) 0,5
c) 0,3125
d) 0,25
e) 1

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que a probabilidade de que a variável aleatória

x assume um valor de 0 a 1/2 é 0,5 ou seja, alternativa B. E para chegar a essa conclusão tivemos que calcular a área da região limitada da função densidade, ou seja, tivemos que usar a integral definida.

Mas Nitoryu como uso a integral definida para uma função de densidade?

A integral definida para calcular a probabilidade de uma função densidade é usada na forma:

$\large \boxed{\boxed{\rm{\bold{\displaystyle P(a \leqslant x \leqslant b)=\int ^ b _ a f(x) dx }}}}$

Sabendo como devemos usar a integral definida para uma função densidade, passamos a resolver este problema.

O problema menciona que o diâmetro x de um cabo elétrico deve ser uma variável aleatória contínua x com uma função de densidade igual a:

$f(x)=\begin{cases} 6x (x - 1),~ 0\leqslant x \leqslant 1\\ 0, em ~ casos ~opostos\end{cases}$

E sabendo disso, nos pede para calcular a probabilidade P(0 ≤ X ≤ 1/2) e indicar a alternativa correta.

Primeiro, vamos analisar se esses valores onde x está definido se está definido na função densidade, e caso contrário não está definido, vamos dizer que é igual a 0. Vemos que a função só aceita valores de x definido em um intervalo de 0 a 1 e queremos encontrar o valor da área (probabilidade) quando x é definido no intervalo de 0 a 1/2.

Vemos que o valor que queremos encontrar se está definido na função, então sabendo que está definido na função usaremos a integral definida da forma:

$\rm{\bold{\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=\int ^{1/2} _ 0 6x \cdot (1-x) dx }}$

Vamos levar em conta que 6 é uma constante e como é uma constante podemos tirá-la da integral.

$\rm{\bold{\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6\int ^{1/2} _ 0 x \cdot (1-x) dx }}\\\\ \displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6\int ^{1/2} _ 0 x - x ^ 2 dx$

Para integrar nossa função de forma mais simples, aplicamos a regra de adição, que é representada pela expressão: $\displaystyle \int f(x)\pm g(x) dx =\int f(x)dx\pm \int g(x) dx$

Aplicando isso temos:

$\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6\int ^{1/2} _ 0 x dx - \int ^{1/2} _ 0x ^ 2 dx$

Para mostrar que realizamos a integral vamos usar a regra da potência, isto é: $\displaystyle \int x^ n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

Aplicando isso obtemos a expressão:

$\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6 \left(\left[\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\right]^{1/2} _ 0-\left[\dfrac{x ^{2+1}}{2+1}\right]^{1/2}_0\right)\\\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6 \left(\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]^{1/2} _ 0-\left[\dfrac{x ^{3}}{3}\right]^{1/2}_0\right)$

Avaliamos o valor dessa integral em seus limites de integração para obter o valor:

$\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6 \left(\left[\dfrac{1/2^{2}}{2}\right]-\left[\dfrac{1/2^{3}}{3}\right]\right) \\ \\ \displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6 \left(\left[\dfrac{1/4}{2}\right]-\left[\dfrac{1/8}{3}\right]\right)\\ \\ P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=6 \left(\left[\dfrac{1}{8}\right]-\left[\dfrac{1}{24}\right]\right)\\\\ P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=\not\!6 \left(\dfrac{1}{\not\!\!12}\right)\\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{P(0 \leqslant x \leqslant 1/2)=\dfrac{1}{2}=0{,}5}}}$