Question

O desvio padrão do número de reprovações numa determinada escola é de 0,8 por aluno. Uma escola realizou uma pesquisa com 67 alunos e verificou que a média de reprovações é de 1,1 por aluno. Qual o limite inferior e qual o limite superior do intervalo de confiança de 99% da média de reprovações por aluno, considerando as informações apresentadas?

Answer 1

Olá.

Dados:

$\sigma = 0,8\\ \bar{x} = 1,1\\n=67\\\gamma=99\%$

Faremos a mudança para a variável Z ~ N(0,1) assim:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\overset{a}\sim N(0,1)$

Queremos que entre $-Z_{\gamma/2}$ e $Z_{\gamma/2}$ haja  uma probabilidade 0,99. Assim, 

$P(0\leq Z\leq Z_{\gamma/2}) = \frac{0,99}{2} = 0,495$

Vemos na tabela da distribuição normal e encontramos $Z_{\gamma/2} = 2,57$

Se isolar a média na equação $-Z_{\gamma/2} \leq Z\leq Z_{\gamma/2}$ , encontramos a fórmula para nosso IC:

$IC(\mu,\gamma) =\left[\bar{x} - \dfrac{Z_{\gamma/2}\sigma}{\sqrt{n}},~~ \bar{x} + \dfrac{Z_{\gamma/2}\sigma}{\sqrt{n}}\right]\\ \\ \\ IC(\mu,99\%) = \left[1,1 - \dfrac{2,57(0,8)}{\sqrt{67}}, ~~1,1 + \dfrac{2,57(0,8)}{\sqrt{67}} \right]\\ \\ \\ IC(\mu,99\%) = [0,849~~;~ 1,351]$

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Answer 2

limite inferior: 0,85 e limite superior: 1,35