Question

 O desenho seguinte pode ser utilizado para evidenciar relações entre significados algébricos e geométricos, com o objetivo de apresentar um caso de fatoração ou, dependendo do sentido em que se analisa o desenho, um caso de produto notável. Qual é o caso de produto notável (ou de fatoração) que pode ser explorado com base nessa representação? Justifique sua resposta realizando as passagens algébricas necessárias.

Answer 1

Vamos calcular as áreas das figuras.

Na primeira temos um quadrado de lado $a$. Sabemos que a área de um quadrado é:

$A=lado^2$

Assim a área do primeiro quadrado será:

$A_4M=a^2$

Se cortarmos deste quadrado um pedaço b na largura e na altura estaremos retirando 2 retângulos de dimensões $a$ e $b$. Sendo que cada retângulo tem a área definida por:

$A=base.altura$

$A_R=a.b$

$A_R=ab$

Mas, note que estes retângulos tem um pedaço em comum (quadrado de lado b em vermelho na figura III). Então a parte tirada do quadrado maior pelo segundo retângulo será a mesma área do retângulo $A_R$ menos a área do quadrado menor ($A_4m=b^2$). Assim:

$A_r=A_R-A_4m$

$A_r=ab-b^2$

Agora para saber a área do quadrado que sobrou ($A_S$) na figura IV depois dos cortes devemos pegar a área do quadrado maior ($A_4M$) e subtrair as áreas dos retângulos tirados ($A_R$ e $A_r$). Assim:

$A_S=A_4M-(A_R+A_r)$

$A_S=a^2-(ab+ab-b^2)$

$A_S=a^2-ab-ab+b^2$

$A_S=a^2-2ab+b^2$

Portanto esta será a área do quadrado que sobrou. Mas, podemos ver que o lado deste quadrado mede $a-b$ pois foi tirado $b$ do lado do quadrado maior, $a$. E sabemos que fórmula da área do quadrado é:

$A=lado^2$

Então, vamos calcular a área do quadrado resultante sabendo a medida do seu lado ($a-b$). Assim:

$A_S=(a-b)^2$

Agora vamos igualar as duas expressões que encontramos para a área deste quadrado que sobrou assim:

$A_S=A_S$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Desta forma, provamos geometricamente a fórmula do produto notável da diferença.