Question

o depepartamento financeiro de uma empresa transmite duas informações a você, que ocupa o cargo de gerente de vendas: O número N unidades vendidas foi modelado em função do valor x em milhares de reais investidos em publicidade. O modelo utilizado foi o exponencial e calculado pela equação N = 50-40.e -0,1x. A taxa de variação da receita (R’) apresentada pela empresa (RECEITA MARGINAL) foi modelada em função do número de unidades vendidas N a partir do modelo linear pela equação R’ = 1000N-9N2
Considerando as informações acima, responda:
Quantas unidades serão vendidas se a empresa investir R$ 8.000,00 em publicidade?
Quanto a empresa deverá investir em publicidade para termos uma expectativa de venda de 35 unidades?
De acordo com este modelo, qual a projeção de vendas mais otimista?
Faça uma estimativa utilizando a receita marginal referente à venda da 36a unidade.
Calcule o valor a ser recebido pela empresa caso consiga atingir a meta de 35 unidades vendidas, sabendo-se que a mesma não possui receita fixa. Ou seja, sua receita inicial é nula.

Answer 1

Equações apresentadas:

$Fun\c{c}\~ao\ investimento\ em\ propaganda:\\\\ N = 50-40e^{-0,1x}\ ,\ onde\ \underline{x}\ \'e\ representado\ o\ investimento\\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~em\ milhares\ de\ Reais\ e\ \underline{N}\ a\ quantidade\\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~vendida\\\\\\ Fun\c{c}\~ao\ Receita\ Marginal\ (Derivada\ da\ fun\c{c}\~ao\ receita):\\\\ R' = 1000N-9N^2\ ,\ onde\ \underline{N} representa\ a\ quantidade\ vendida\ e\ \underline{R'}\\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a\ varia\c{c}\~ao\ da\ unidade$


1) Quantas unidades serão vendidas se a empresa investir R$ 8.000,00 em publicidade?

Utilizaremos a função investimento/publicidade.
OBS: Vale lembrar que o valor investido é em milhares de R$, ou seja, x = 8

$N_{(x)} = 50-40e^{-0,1x}\\\\ N_{(8)} = 50-40e^{-0,1(8)}\\\\ N_{(8)} = 50-40e^{-0,8}\\\\\\ Resolvendo:\\\\ N_{(8)} \approx 50-40(0,44933)\\\\ N_{(8)} \approx 50-18\\\\ \boxed{N_{(8)} \approx 32\ unidades}$


2) Quanto a empresa deverá investir em publicidade para termos uma expectativa de venda de 35 unidades?

Utilizaremos a mesma equação investimento/publicidade. Mas será para encontrar o valor de x.

$N = 50-40e^{-0,1x}\\\\\\ Resolvendo:\\\\ 35 = 50-40e^{-0,1x}\\\\ 40e^{-0,1x} = 50 - 35\\\\ 40e^{-0,1x} = 15\\\\ e^{-0,1x} = \dfrac{15}{40}\\\\ e^{-0,1x} = \dfrac{3}{8}\\\\ \dfrac{1}{e^{0,1x}} = \dfrac{3}{8}\\\\ e^{0,1x} = \dfrac{8}{3}\\\\ \ln\dfrac{8}{3}=0,1x\\\\ \ln \dfrac{8}{3} =\dfrac{x}{10}\\\\ x=10 \ln \dfrac{8}{3}\\\\ x \approx 10(0,98083)\\\\ \boxed{x \approx 9,8083\ (\ R\ \ 9.808,30\ )}$



3) De acordo com este modelo, qual a projeção de vendas mais otimista?

Não entendi como se resolve


4) Faça uma estimativa utilizando a receita marginal referente à venda da 36ᵃ unidade:

Basta utilizarmos a função da receita marginal.

$R'_{(N)} = 1000N-9N^2\\\\\\ Resolvendo:\\\\ R'_{(36)} = 1000(36)-9(36)^2\\\\ R'_{(36)} = 1000(36)-9(1.296)\\\\ R'_{(36)} = 36000-11.664\\\\ \boxed{R'_{(36)} = R\ \ 24.336,00}$


5) Calcule o valor a ser recebido pela empresa caso consiga atingir a meta de 35 unidades vendidas, sabendo-se que a mesma não possui receita fixa. Ou seja, sua receita inicial é nula.


Essa questão é um pouco mais complexa, pois precisamos aplicar a integral na função receita marginal, para encontrarmos a função receita.
Quando aplicarmos a integral, o valor da constante dela será zero, já que questão informa que a receita inicial é nula, logo, podemos descartar a constante.


Integral da função receita marginal:

$R = \int(1000N-9N^2)dN\\\\ R=1000\dfrac{N^2}{2}-9\dfrac{N^3}{3}\\\\ R=500N^2-3N^3\\\\\\ Encontrada\ a\ fun\c{c}\~ao\ receita,\ agora\\\ calculamos\ a\ receita\ para\ 35\ unidades:\\\\ R_{(35)}=500(35)^2-3(35)^3\\\\ R_{(35)}=500(1.225)-3(42.875)\\\\ R_{(35)}=612.500-128.625\\\\ \boxed{R_{(35)}=R\ \ 483.875,00}$


PS: Para fim de curiosidade, sobre a representação gráfica relacionada a função receita e receita marginal, em anexo encontra-se o gráfico, com representação também da receita máxima alcançada quando vendido 111 unidades do produto.


Espero ter ajudado.
Bons estudos!