Question

O custo para se produzir x unidades de um produto é dado pela função 
 C = 2x²- 100x + 5000. Qual o valor mínimo de custeio desse produto? 

Answer 1

Olá, Felipe.

 

$<var>C(x) = 2x^2- 100x + 5000</var>$

 

A curva de  $<var>C(x)</var>$  no plano cartesiano é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o termo que acompanha  $<var>x^2</var>$  é positivo.

 

Como a parábola tem concavidade voltada para cima, concluímos que, no ponto onde a derivada da curva é zero, temos um mínimo. Por outro lado, se a concavidade fosse voltada para baixo, neste ponto onde a derivada é zero teríamos um máximo.

 

Vamos, portanto, derivar a função  $<var>C(x),</var>$  e igualar sua derivada a zero para obter o ponto mínimo  $<var>x^\star</var>$  da curva.

 

$<var>\frac{dC(x)}{dx}=4x-100=0 \Leftrightarrow 4x^{\star}=100 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=25}</var>$

 

Obtivemos o ponto onde o custo é mínimo. Vamos agora calcular o valor deste custo:

 

$<var>C(x^\star) = 2(x^\star)^2- 100x^{\star} + 5000=2\cdot{25}^2-100\cdot25+5000=\\\\ =1250-2500+5000=\boxed{R\ \ 3.750,00}</var>$