Question

O custo Fixo de Fabricação de um produto é $ 1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 5,00. Se cada unidade for vendida por $ 7,00:

 

A) Qual o ponto de nivelamento?

 

B) Se o produto conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20%, á custo do aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento?

 

C) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento(em relação ao item A) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%?

Answer 1

Olá, Vanessa.

 

 

a) O custo fixo é  $C_f = 1000$  (R$ 1.000,00)

 

O custo variável é  $C_v(x) = 5x$  (R$ 5,00 por unidade)

 

O custo total é  $C_t(x) = C_f + C_v(x) = 1000 + 5x$ 

 

A receita é  $R(x) = 7x$  (R$ 7,00 por unidade)

 

O lucro é dado por  $L(x) = R(x) - C_t(x) = 7x - (1000 + 5x) = 2x - 1000$

 

Ponto de nivelamento é o ponto  $x^\star$  tal que  $L(x^\star)=0:$ 

 

$<var>L(x^\star)=2x^\star - 1000=0 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=500}</var>$

 

 

b) Redução de 20% no custo variável.

 

O custo variável é  $C_v(x) = 80\% \cdot 5x=0,8 \cdot 5x=4x$

 

O custo total é  $C_t(x) = C_f + C_v(x) = 1000 + 4x$ 

 

A receita é  $R(x) = 7x$

 

O lucro é dado por  $L(x) = R(x) - C_t(x) = 7x - (1000 + 4x) = 3x - 1000$

 

Ponto de nivelamento é o ponto  $x\star$  tal que  $L(x^\star)=0:$ 

 

$<var>L(x^\star)=3x^\star - 1000=0 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=333,33...}</var>$

 

 

c) Aumento no custo fixo de forma que o ponto de nivelamento seja 500 e o custo variável seja reduzido em 30%.

 

O custo fixo é  $C_f = 1000+c$

 

O custo variável,  $C_v(x) = 70\% \cdot 5x=0,7 \cdot 5x=0,35x$

 

O custo total é  $C_t(x) = C_f + C_v(x) = 1000 + c + 0,35x$ 

 

A receita é  $R(x) = 7x$

 

O lucro é dado por:

 

$L(x) = R(x) - C_t(x) = 7x - (1000 + c + 0,35x) = 6,65x - 1000 - c$

 

Para que o ponto obtido na letra "a",  $x^\star=500,$  continue sendo um ponto de nivelamento devemos ter  $L(x^\star)=L(500)=0:$

 

$<var>L(500)=6,65 \cdot 500 - 1000 - c=0 \Leftrightarrow \boxed{c=2325}</var>$

 

Será necessária, portanto, um aumento no custo fixo de R$ 2.325,00.

 

Answer 2

Resposta da A)

Para que os três itens sejam facilmente resolvidos, vamos definir uma função base que servirá para toda a resolução.

Temos que:

1.000 é o custo fixo

5 é o custo variável

Com isso, podemos definir a função do custo, tendo como base uma função de primeiro grau: ax + b = y

F (x) = 5x + 1000; em que x é a quantidade de produtos fabricados e 1000 é o custo fixo, ou seja, se x (produção) for igual a zero, o custo continuará sendo 1000.

Para saber o ponto de nivelamento, vamos relacionar essa função com o valor de venda, que é 7 reais e que também depende da quantidade de produtos.

7x = 5x + 1000

2x = 1000

x = 500

O ponto de nivelamento (valor obtido nas vendas iguala ao valor do custo e a partir daí o que entra é lucro) é atingido com a produção e venda de 500 unidades.

Resposta da B)

O produtor vai reduzir o custo variável por unidade em 20% às custas do aumento do custo fixo na mesma porcentagem. Ou seja:

80% de 5 reais é R$4,00

120% de 1000 reais é R$1.200,00

A função ficará:

f (x) = 4x + 1200 --> Novos valores variáveis e fixo

Para o nivelamento faremos o mesmo raciocínio do item anterior:

7x = 4x + 1200

3x = 1200

x = 400

O novo ponto de nivelamento é 400 unidades, o que é benéfico para o empresário.

Resposta da C)

Para manter o nivelamento com 500 unidades quando o custo variável é reduzido em 30%:

70% de 5 reais: R$3,50

7x = 3,5x + B, sendo que x = 500

7 (500) = 3,5 (500) + B

3500 = 1750 + B

B = 1750

O custo fixo deverá ser R$1.750,00, o que representa um aumento de 75%.

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