Question

O critério da raiz ou de couchy nos mostra se uma determinada série é convergente ou divergente:mostre com cálculos utilizando se desse critério o porque da série abaixo ser divergente.

(4n+1)^n/(2n+5)^n

Answer 1

Pede-se para verificar a divergência da seguinte série:

$\displaystyle S = \sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(4n+1)^n}{(2n+5)^n}$

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O Teste da Raiz (ou Critério da Raiz / Teste de Cauchy) nos diz que:

Seja $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}a_n$ uma série numérica. Considere o seguinte limite:

$\boxed{L = \lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{|a_n|}}}$

Se:

- L < 1: a série converge absolutamente;
- L = 1: nada se pode concluir;
- L < 0: a série diverge (não converge).

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Assim, para provarmos o que pede o enunciado, basta que analisemos esse limite. No caso, $a_n = \dfrac{(4n+1)^n}{(2n+5)^n}$. Desse modo:

$L = \lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{|a_n|}}\\\\ L = \lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{\left|\dfrac{(4n+1)^n}{(2n+5)^n\right|}}}\\\\ L = \lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{\left|\dfrac{4n+1}{2n+5\right|^n}}}\\\\ L = \lim\limits_{n\to \infty} \left| \dfrac{4n+1}{2n+5} \right|~~~~~~~~(n\ \textgreater \ 0)\\\\ L = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{4n+1}{2n+5} \\\\ L = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n\left(4+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(2+\dfrac{5}{n}\right)}$

$L = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{4+\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{1}{n}}{2+\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{5}{n}} \\\\ L = \dfrac{4+0}{2+0} \\\\ L = \dfrac{4}{2}=2\\\\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{|a_n|}}=2}}$

Como L é maior que 1, a série diverge. $~~\blacksquare$