Question

O corte transversal de um túnel, de pista única, em que a base tem 20 m de largura e a altura máxima é de 8 m, tem o formato de um arco de parábola, conforme representado na ilustração e no gráfico a seguir, sendo V o vértice da parábola.
Um caminhão, cujo formato do corte transversal de sua carroceria é um retângulo, tem altura do chão até seu ponto mais alto igual a 6 m. O ponto mais alto desse caminhão está em sua carroceria. Para que ele consiga passar no túnel, a maior largura possível para a carroceria do caminhão, dentre as opções abaixo, em metros, é:

A) 6
B) 8
C) 11
D) 13

Answer 1

equação da parábola:

y = a*x*(x - 20)

y = a*(x² - 20x)

y = ax² - 20ax

vértice

Vx = 20a/2a = 10

Vy = a*10² - 20a*10 = 8

100a - 200a = 8

100a = -8

a = -8/100 = -2/25

equação da parábola:

y = -2*(x² - 20x)/25

y = 6

-2*(x² - 20x)/25 = 6

20x - x² = 75

x² - 20x + 75 = 0

delta

d = 400 - 300 = 100

as raizes:

x1 = (20 + 10)/2 = 15

x2 = )20 - 10)/2 = 5

a maior largura

L = 15 - 5 = 10

dentre as opções abaixo, a maior largura, em metros, é

L = 8 m

Answer 2

A carroceria desse caminhão deverá ter 8 metros de largura. Letra b).

Olhando para a figura da própria questão, para o gráfico da direita, podemos destacar 3 pontos dele:

• O = (0,0);
• A = (20,0);
• V = (10,8).

O ponto V é o ponto de altura máxima do túnel. Devido à simetria, podemos intuir que ele está exatamente no ponto médio entre x = 0 e x = 20m, que equivale a x = 10m.

Toda equação do segundo grau terá seu gráfico em fórmula de parábola, e sua função pode ser representada como:

y = f(x) = ax² + bx + c

, sendo a, b e c constantes reais a serem determinadas a seguir.

Vamos pegar cada um dos pontos e ir substituindo na fórmula.

Ponto O:

Se O = (0,0) temos então x = 0 e y = 0. Substituindo:

0 = a*0² + b*0 + c

c = 0

Portanto, nossa função terá o formato:

y = f(x) = ax² + bx + 0 = ax² + bx

Ponto A:

Agora o ponto é A = (20,0), ou seja, x = 20 e y = 0. Substituindo:

0 = a*20² + b*20 = 400a + 20b

Dividindo tudo por 20:

20a + b = 0

b = -20a

Ponto V:

Por fim temos V = (10,8), logo x = 10 e y = 8. Substituindo novamente:

8 = a*10² + b*10 = 100a + 10b

Substituindo a relação b = -20a:

100a + 10*(-20a) = 8

100a - 200a = 8

-100a = 8

a = -8/100 = -0,08

E também:

b = -20a = -20*(-0,08) = 1,6

Deste modo, a nossa parábola terá a seguinte equação:

y = -0,08x² + 1,6x

Com essa equação em mãos vamos retornar ao enunciado do problema. O caminhão terá 6m de altura. A altura estaria representada no eixo y do gráfico, logo vamos substituir y = 6m na nossa equação:

y = 6

-0,08x² + 1,6x = 6

-0,08x² + 1,6x - 6 = 0

Aplicando Bháskara, vamos ter:

Δ = b² - 4ac = 1,6² - 4*(-0,08)*(-6) = 2,56 - 1,92 = 0,64

x = -b±√(Δ)/2a

x = [-1,6±√(0,64)]/2*(-0,08) = (-1,6±0,8)/(-0,16)

x' = (-1,6 - 0,8)/(-0,16) = 15m

x'' = (-1,6 + 0,8)/(-0,16) = 5m

A largura da carroceria desse caminhão deve ser menor do que 15 - 5 = 10 metros. Dentre as alternativas, a maior delas, que ainda seja menor que 10m, é de 8 metros.

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