Question

O conjunto solucao da inequacao x² + x -1÷9 -x² ≥ 1÷3-x é dado por:
a-[-3,3[
b-]-∞,-2]U[2,∞[
c-]-3,-2]U[2,3[
d-[-2,2[
e-[2,∞[

$\frac{x^{2}+x -1 }{9-x^{2} } \geq \frac{1}{3-x}$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Hugo, que a resolução parece simples. É apenas um pouco trabalhosa. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o conjunto-solução da seguinte inequação:

(x²+x-1)/(9-x²) ≥ 1/(3-x) ----- vamos passar o 2º membro para o 1º, ficando:

(x²+x-1)/(9-x²) - 1/(3-x) ≥ 0  ---- note que 9-x² = (3+x)*(3-x). Assim:

(x²+x-1)/(3+x)*(3-x) - 1/(3-x) ≥ 0 ----- note que o mmc é "(3+x)*(3-x)". Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[1*(x²+x-1) - (3+x)*1]/[(3+x)*(3-x)] ≥ 0 --- retirando-se os parênteses do numerador, ficaremos com:

[x²+x-1 - 3-x]/[(3+x)*(3-x)] ≥ 0 --- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

[x² - 4]/[(3+x)*(3-x)] ≥ 0  

Agora veja: temos no numerador uma equação do 2º grau e no denominador outra equação do 2º grau. Ou seja, temos no numerador a função  f(x) = x² - 4; e temos no denominador a função g(x) = (3+x))*(3-x). Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações (do numerador e do denominador) e depois as expressaremos em função de suas raízes. Assim teremos:

f(x) = x² - 4 ---> raízes: x²-4 = 0 ---> x² = 4 ---> x' = -2; e x'' = 2.

g(x) = (3+x)*(3-x) --> raízes: (3+x)*(3-x) = 0 --->3+x = 0 --> x' = -3; 3-x = 0 ---> -x = -3 ---> x = 3 ---> x'' = 3.

Dessa forma, ficamos assim:

[(x-2)*(x+2)]/[(x-3)*(x+3)] ≥ 0

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. Assim teremos:

a) f(x) = x² - 4 .......... + + + + + + + (-2) - - - - - - - -  (2) + + + + + + + + + + + +

b) g(x) = (3+x)*(3-x).. - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + (3) - - - - - - - - -

c) a/b......................... - - - (-3)+ + + (-2) - - - - - - - -  (2)++++++(3) - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no item "c" acima que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim, o conjunto-solução será este:

-3 < x ≤ 2 ou 2 ≤ x < 3 ------ este é o intervalo do conjunto-solução.

Aí você poderá perguntar: e por que se considera, com relação ao "3" e ao "-3" apenas o sinal de "<" e, no entanto, com relação ao "-2" e ao "2", é considerado o sinal de "≤" ? Resposta: porque "-3" e "3" são raízes da equação do denominador. E, como você sabe, o que zera uma equação são as suas raízes. Logo, se fôssemos considerar que "x" pudesse ser igual a "-3" ou igual a "3" estaríamos admitindo uma divisão por zero e isso não existe. Logo, com relação ao "-3" e ao "3" utilizaremos apenas o sinal de "<", ok?

E, para que a resposta fique igual ao que está nas opções dadas, então note ue o intervalo do conjunto-solução que encontramos anteriormente é equivalente a:

]-3; 2] ∪ [2; 3[ <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.