Question

O CONJUNTO SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO x³ + 7x² + 8x - 16 = 0, SENDO - 4 UMA RAIZ DUPLA, É?

Answer 1

Vamos lá.

Veja que a resolução é simples.
Pede-se o conjunto-solução da função abaixo, sabendo-se que "-4" é uma raiz dupla:

x³ + 7x² + 8x - 16 = 0

Veja: se "-4" é uma raiz dupla (ou seja, se a função acima tem duas raízes reais e iguais a "-4"), então referida função será divisível (deixa resto zero) pelo produto: (x-(-4)*(x-(-4)) = (x+4)*(x+4) = x²+8x+16, ou seja, a função da sua questão [x³+7x²+8x-16 = 0] será divisível (deixará resto zero) por "x²+8x+16".
Então vamos efetuar a divisão pela regra direta, que é esta:

x³ + 7x² + 8x - 16 |_x²+8x+16_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . x - 1  <--- quociente
-x³-8x²-16x
--------------------
0 - x² - 8x - 16
..+x² +8x + 16
-----------------------
0........0.......0 <--- veja que o resto teria que ser zero mesmo, pois o dividendo é divisível pelo divisor (deixa resto zero).

Agora veja que ficamos com o quociente igual a "x-1". Então vamos encontrar a terceira raiz a partir do quociente. E, para encontrar a raiz do quociente, vamos igualá-lo a zero.Assim:

x - 1 = 0
x = 1 <--- Esta é a terceira raiz da função da sua questão.

Assim, as três raízes da função da sua questão são estas:

x' = x'' = - 4
x''' = 1

Assim, o conjunto-solução será {x'; x''; x'''} será:

S = {-4; 1} <--- Este é a resposta. Este é o conjunto-solução pedido. Veja que colocamos apenas duas raízes, pois duas delas são iguais, que são as raízes x' e x'' que são, ambas, iguais a "-4".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.