Question

O conjunto solução da equação exponencial 4x- 2x=56
é:
a) -7,8
b) 3,8
c) 3
d) 2,3
e) 8​

Answer 1

O conjunto solução da referida equação exponencial é: c) 3.

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$\tt4^x-2^x=56$

A primeira coisa que devemos fazer é verificar se é possível tornar as potências numa mesma base. A partir disso, do membro direito extrai-se que:

$\tt(2^2)^x-2^x=56$

$\tt(2^x)^2-2^x=56$

Agora veja que interessante, usando-se do artifício $\tt k=2^x$, encontra-se:

$\tt k^2-k=56$ (uma equação quadrática!). Resolvendo-a por fatoração:

$\tt k^2-k-56=0$

$\tt k^2-8k+7k-56=0$

$\tt k(k-8)+7(k-8)=0$

$\tt(k-8)(k+7)=0$

$\tt k-8=0~\vee~k+7=0$

$\tt k_1=8~\vee~k_2=-\,7$

E voltando à variável antiga:

$\begin{cases}\tt 2^x=k_1\Rightarrow2^x=8\Leftrightarrow2^x=2^3\Leftrightarrow x=3\\\tt 2^x=k_2\Rightarrow2^x=-\,7\Rightarrow x\notin\mathbb{R}\end{cases}$

Não existe um número real para x que satisfaça a eq. $\tt 2^x=-\,7$; quando 2 é elevado a qualquer número, o resultado deve permanecer positivo e, como – 7 é negativo, a sentença não é verdadeira para x ∈ ℝ.

$\tt\therefore~S=\left\{3\right\}$ ⇒ alternativa c).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.