Question

O conjunto solução da equação cos x = cos (π/3 – x ), para 0

Answer 1

x=π/3-x+2kπ. x=π/3+x+2kπ

Impossível

2x=π/3+2kπ

K=0. X=π/6

K=1. X=π/6+π. 7π/6

K=2. x=π/6+2π=13π/6(não pertence ao intervalo 0,2π)

Solução:{π/6 ,7π/6}.

Foto abaixo ⬇️

Answer 2

Utilizando subtituição de variaveis e propriedades de funções trigonometricas, temos que as soluções para esta equação são x = π (6N+1)/6, onde N é qualquer número natural.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que nos foi dada a equação:

$cos(x)=cos\left( \frac{\pi}{3}-x\right)$

E para resolvermos esta, vamos primeiramente utilizar o fator de que o cosseno é uma função par. Isto significa que o cosseno de um número '-x' é o mesmo cosseno de um número 'x', então podemso trocar o sinal de tudo junto dentro deste, que não afeta o resultado final, ficando então:

$cos(x)=cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Agora vamos fazer uma translação no nosso eixo de coordenadas, vamos trocar 'x' por outra variavel que chamarei de 't', esta será igual a x, porém desviada de um pequeno angulo de π/6 (metade de π/3), da forma:

$t = x - \frac{\pi}{6} \rightarrow x = t+\frac{\pi}{6}$

Assim substituindo 'x' pela nossa nova variavel 't', ficamos com:

$cos(x)=cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

$cos\left(t+\frac{\pi}{6}\right)=cos\left(t + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right)$

Podemos somar as frações do lado direito para simplificar:

$cos\left(t+\frac{\pi}{6}\right)=cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right)$

Agora note que temos quase o mesmo valor dentro dos cossenos dos dois lados, e isso ficamo muito simples para nos, pois como já falamos anteriormente, o cosseno é um função par ($cos(-x)=cos(x)$), então fica obvio uma solução que é quando t = 0, pois neste caso teriamos:

$cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=cos\left(- \frac{\pi}{6}\right)$

O que é verdade por esta ser uma função par, mas também temos outra solução possível que é quando t = π, pois o cosseno é o eixo das ordenadas e quando chegamos no limite do circulo trigonometrico, que é em π, os valores começam a voltar nas ordenadas, ou seja, π menos um angulo é igual a π somado deste mesmo angulo.

$cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)=cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)$

$cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ (Verifique na calculadora e verá!)

Além disso sempre que o circulo der uma volta completa, nos teremos uma nova solução, ou seja, em 2π. Com isso podemos notar todas as possíveis soluções de 't' são os multiplos de π, pois 't' pode ser 0, π, 2π, 3π ....

Então podemos escrever a solução para 't' como:

$t = N. \pi \qquad \qquad N = 0,1,2,3...$

Mas lembre-se que nossa equação inicial tem variavel 'x' e não 't', que se relacionam da forma:

$t = x - \frac{\pi}{6} \rightarrow x = t+\frac{\pi}{6}$

Então basta somarmos π/6 na solução de 't' e teremos nossa solução final em 'x':

$x =\frac{\pi}{6} + N\pi \qquad \qquad N = 0,1,2,3...$

Ou ainda colocando π em evidência e simplificando a solução:

$x =\pi\frac{6N+1}{6} \qquad \qquad N = 0,1,2,3...$

Assim temos que as soluções para esta equação são x = π (6N+1)/6, onde N é qualquer número natural.

Para mais questões sobre trigonometria, recomendo checar:

https://brainly.com.br/tarefa/1120598

https://brainly.com.br/tarefa/22640036