Question

O conjunto dos números naturais possui algumas características interessantes. Quanto as possibilidades e competências relacionadas à essas características, análise as seguintes sentenças:
I. As operações de adição e multiplicação são sempre possíveis entre dois números naturais.
II. As operações de subtração e divisão sempre são realizáveis dentro do conjunto dos números naturais, no sentido que o resultado sempre é o número natural.
III. O conjunto é infinito positivamente, ou seja, não existe um número maior que todos os outros números naturais.
Assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas:

Answer 1

Resposta:

I. As operações de adição e multiplicação são sempre possíveis entre dois números naturais.

Explicação passo a passo:

I. Note que tanto a operação de adição e multiplicação $\left(+,\cdot:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\right)$ em relação aos números naturais, ou seja, a estrutura $(+,\cdot,\mathbb{N})$, tem como ambas uma operação fechada sobre o conjunto, portanto quaisquer valores atribuídos as funções binárias vão produzir um elemento que pertencem ao conjunto inicial.

II. Entretanto, a operação de subtração pode produzir números negativos, os quais não pertencem ao conjunto dos números naturais, assim como a divisão que pode produzir números racionais, sendo, portanto, ambas $(\div,-:\mathbb{N}\to\mathbb{Q})$ não fechadas em relação aos naturais.

III. A questão não explicita a que tipo de número se refere quando diz "um número maior que todos os outros números naturais", considerando esse fato, certamente existe, números naturais são tipos específicos de ordinais cujos cardinais são garantidos únicos, cada ordinal finito tem como cardinal o seu correspondente natural (pela construção de Von-Neumann). Considerando isso, o número ordinal $\omega$ é um exemplo de número que é maior que todos os outros naturais, ou seja, ele exerce uma relação de dominância em relação a esse conjunto. Não só este como quaisquer outros ordinais equipotentes a $\omega$, isto é, qualquer ordinal com cardinalidade $\aleph_0$ ou maior. Entretanto desconsiderando esse fato essa afirmação está errada.