Question

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos. Então represente na forma geométrica o número complexo z=-4¹3-4i

Answer 1

Pode-se representar qualquer número complexo z = a + bi na forma geométrica, dada por

$\mathsf{z=|z|\cdot\big(cos\,\theta+i\,sen\,\theta\big)}$

Onde $\mathsf{|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ é a norma de z e $\theta$ é o argumento de z (ângulo entre o ponto que representa z no plano complexo e o eixo real)

Ou seja,

$\mathsf{sen\,\theta=\dfrac{b}{|z|},\,\,\,\,\,cos\,\theta=\dfrac{a}{|z|}\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,tg\,\theta=\dfrac{b}{a}}$
________________________________________

$\mathsf{z=-4\sqrt{3}-4i}$

Com isso,

$\mathsf{a=Re(z)=-4\sqrt{3}}\\\mathsf{b=Im(z)=-4}$

Vamos achar a norma de z:

$\mathsf{|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\\\\mathsf{|z|=\sqrt{(-4\sqrt{3})^{2}+(-4)^{2}}}\\\\\mathsf{|z|=\sqrt{16\cdot3+16}}\\\\\mathsf{|z|=\sqrt{16\cdot4}}\\\\\mathsf{|z|=4\cdot2}\\\\\mathsf{|z|=8}$

Agora, vamos achar o seno e cosseno de θ:

$\mathsf{sen\,\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}}\\\\\\\mathsf{cos\,\theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{-4\sqrt{3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

O seno e cosseno de um ângulo são ambos positivos quando o ângulo pertence ao terceiro quadrante do ciclo trigonométrico.

Como $\mathsf{\frac{1}{2}=sen\,30\º=sen\,\frac{\pi}{6}}$ e $\mathsf{sen\,(\pi+x)=-sen\,x}$, temos que $\mathsf{\theta=180\º+30\º=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}}$

Com isso,

$\mathsf{z=|z|\cdot(cos\,\theta+i\,sen\,\theta)}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{z=8\bigg(cos\,\frac{7\pi}{6}+i\,sen\,\frac{7\pi}{6}\bigg)}}}$