Question

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a sua representação geométrica . Sendo assim o módulo e a forma trigonométrica do número -2i, são iguais a:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rfiori, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa, pois iremos fazer tudo passo passo para um melhor entendimento..
Pede-se a forma trigonométrica do complexo z = - 2i. Note que poderemos reescrever este complexo com a parte real igual a "0" da seguinte forma:

z = 0 - 2i.

Agora vamos tentar fazer, como informamos acima, tudo bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que a forma trigonométrica de um complexo que esteja escrito algebricamente na forma z = a + bi terá a sua forma trigonométrica escrita do seguinte modo:

z = |z|*[cos(α) ± isen(α)] , em que:

|z| é o módulo do complexo "z"
e
α é o argumento do complexo "z".

ii) Vamos encontrar qual é o módulo do complexo dado, que é este:

z = 0 - 2i ---- note que o módulo de um complexo da forma z = a + bi é dada da seguinte forma: |z| = √(a²+b²).

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o módulo do complexo
z = 0 - 2i será:

|z| = √(0²+(-2)²)
|z| = √(0+4)
|z| = √(4) ----- como √(4) = 2, então teremos:
|z| = 2 <--- Este será o módulo do complexo z = 0 - 2i

iii) Vamos calcular o argumento (α).
Antes veja que um complexo, da forma z = a + bi, com módulo igual a |z| terá o seu argumento encontrado da seguinte forma:

cos(α) = a/|z|
e
sen(α) = b/|z|

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então o argumento do nosso complexo z = 0 - 2i, cujo módulo é |z| = 2, será dado da seguinte forma:

cos(α) = 0/2 ----> cos(α) = 0
e
sen(α) = -2/2 ----> sen(α) = - 1

Agora veja: o cosseno é igual a zero e o seno é igual a "-1" apenas no arco de 270º (ou 3π/2) <--- Este será o argumento do complexo z = 0 - 2i.

iv) Agora vamos para a forma trigonométrica, que já vimos antes, que é esta:

z = |z|*[cos(α) ± isen(α)] ---- substituindo-se |z| por "2" e "α" por "3π/2", teremos:

z = 2*[cos(3π/2) + isen(3π/2] <--- Esta é a forma trigonométrica do complexo da sua questão.

v) Finalmente, resumindo, então o módulo e a forma trigonométrica serão, respectivamente:

2 e 2*[cos(3π/2) + isen(3π/2]  <--- Esta é a resposta. É a 3ª opção.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.