Question

O conjunto de todos os pontos do plano que estão 2 vezes mais distantes da origem do que do ponto P(0,–6) constitui:01) uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas.02) uma parábola com vértice no ponto V(0,–4).03) elipse com um vértice no ponto V(0,–4)04) uma circunferência de raio 2.05) uma circunferência de raio 4.

Answer 1

origem = (0,0)
P = (0,-6)

a distancia de um ponto (x,y) para P é 2 * a distancia para (0,0)

então
a distancia de (x,y) para (0,-6) é dada por 
d = √((x-0)² + (y-(-6))²)

a distancia de (x,y) para (0,0) é dada por
w = √((x-0)² + (y-0)²)
d = 2w
 
√((x-0)² + (y-(-6))²) = 2*√((x-0)² + (y-0)²)
Elevando tudo ao quadrado
(x-0)² + (y+6)² = 4 * (x²+y²)
x² + (y+6)² = 4x² +4y²
x² +y² +12y+36 = 4x² + 4y²
3x² +3y² - 12y -36 = 0 
Se dividirmos tudo por 3 temos
x² + y² - 4y -12 = 0 
observe y²-4y-12 ... parece um produto notável
se dividirmos y²-4y-12 por (y-2) teremos
(y-2)² -16
Entao a equação fica
(x-0)² + (y-2)² - 16  = 0 
ou 
(x-0)² + (y-2)² = 16

Isso é a fórmula geral de um círculo com centro em (0,-2) e raio igual a 4