Question

O conceito de integral cria condições para se questionar se uma função f(x) qualquer, contínua em seu domínio, admite uma primitiva F(x), de modo que f(x)=F’(x). Considere f(x), uma função contínua em seu domínio, definida por: f(x)=x cos(x2). Assinale a alternativa que apresenta F(x), a primitiva de f(x).

Alternativas:
a) F(x)= 5 sen(x) +C
b) F(x)= 0,5 sen(x2) +C
c) F(x)= 2 sen(2x) +C
d) F(x)= 2sen(x2) +C
e) F(x)= 3sen(x3) +C

Answer 1

Resposta:

$\sf f(x)=x\,cos(x^2)$

$\sf \int\sf f(x)\,dx= F(x)=\int\sf x\,cos(x^2)\,dx$

Aqui nos é conveniente usar o método da substituição. Denotando por ''u'' a função x²:

$\sf u=x^2\implies du=2xdx\implies xdx=\frac{1}{2}du$

Segue que:

$\sf F(x)=\int\sf cos(u)\cdot\frac{1}{2}du$

$\sf F(x)=\frac{1}{2}\cdot\int\sf cos(u)\,du$

$\sf F(x)=\frac{1}{2}\cdot sen(u)+\mathnormal{C}$

$\red{\sf F(x)=0,5\,sen(x^2)+\mathnormal{C}}$

Letra B