Question

O comprimento da aresta do cubo abaixo
representado é 4 e BM= BN = 1cm. Se h é a altura do
triângulo HMN, relativo ao lado MN, então:

a) h √123cm
b) h √39cm
c) h 9 √2/2 cm
d) h √10cm
e) h √190/2 cm

Answer 1

Bom dia,

Faça a figura no caderno e junto os nomes de pontos que vou batizar agora.

Chamemos P ao ponto médio de MN
e
Na base quadrada do cubo, chamemos Q ao vértice oposto ao vértice B

Trace a diagonal QB , na base do cubo.

O pedido, altura do triângulo HMN  ( relativa ao lado MN) ,será então o segmento HP.

Se descobrir o QP , imediatamente  calcula - se a altura HP

( o pedido deste problema)
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1º - Vamos calcular MN

Triângulo MBN é isósceles, pois, pelo enunciado BM = BN = 1

Triângulo MBN é retângulo , pois inclui o ângulo B, da base quadrada do cubo.

MN é a hipotenusa de MBN, logo

MN ² = BM ² + BN ²  

⇔ MN ² = 1 ² + 1 ²

⇔ MN = √2

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2º Vamos calcular BP 

que é altura do triângulo isósceles MBN .

A altura de um triângulo MBN é perpendicular à base, fazendo um ângulo reto com ela.

A altura tirada para a base de um triângulo isósceles divide a base em dois segmentos iguais.

Assim MP = PN   ,   

logo PN = MN /2

PN = ( √2 ) /2. 

Do triângulo BPN sei  :

BPN é triângulo retângulo porque BP é a altura tirada para base MN.

BN = 1     e   é  a  hipotenusa de BPN

PN =( √2 ) / 2.

posso , pelo Teorema de Pitágoras encontrar o BP, cateto do triângulo

retângulo BPN

1² = PN ² + BP  ²

⇔ 1 = ( (√2) / 2) ² + BP ²   ;

tendo  ( (√2) / 2) ² = ( ( √2 ) ² ) / 2 ² = 2 / 4 = 1 / 2

⇔ 1 - 1 / 2 = BP ²

⇔ (1 / 2 ) = BP ²

⇔ BP = √ (1 / 2 ) 

⇔ BP = 1 / √2     

(racionalizando o denominador)   1 / √2 =  ( 1 * √2 ) / (√2 * √2 )

⇔  BP = √2 / 2

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3º Cálculo de QP

QB  = QP + BP   pois fazem parte da diagonal da base quadrada do cubo

Sendo QB essa diagonal, posso calcular o seu valor, pois está num triângulo

retângulo que é metade da base quadrada do cubo .

E   QB  é a hipotenusa desse triângulo. 

QB ² = 4 ² + 4 ²

⇔ QB ² = 32

⇔ QB = √32

decompor 32

32 / 2
16 / 2 
8 / 2
4 / 2
2 / 2
1

32 = 2 ^5

√ 32 = √2 ²  *  √2 ²   *  √2   =  4 √2 

QB = 4 √2 

sendo   QB  = QP + BP 

4 √2 = QP + √2 / 2

⇔ QP = 4 √2  - √2 / 2

transformo  4 √2  em  ( 8 √2 ) / 2

⇔ QP = ( 8 √2 ) / 2  - √2 / 2

⇔ QP = ( 7 √2 ) / 2
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4 º Cálculo de HP , altura de triângulo HMN

Relembremos o que disse no princípio da resolução:

Se descobrir o QP imediatamente sei calcular a altura HP (pedido deste problema)

Vejemos :

Triângulo HQP é retângulo em Q onde:

 HQ é aresta do cubo

e

QP = ( 7 √2 ) / 2

e 

HP é a hipotenusa deste triângulo

portanto

HP ² = QP ² + HQ ²

⇔ HP ² = ( ( 7 √2 ) / 2 ) ² + 16

⇔ HP ² = ( ( 7 √2 ) ² ) / 4   +   16

⇔ HP ² = (49 * 2 ) / 4    +   16

⇔ HP ² = 49 / 2 + 16

⇔ HP ² = 49 / 2 + 32 / 2

⇔ HP ² = ( 49 + 32 ) / 2

⇔ HP ² = 81 / 2

⇔ HP  = √( 81 / 2 )

simplificação de √( 81 / 2 )

= ( √81 ) / √2   = 9 / √2 

racionalizando 9 / √2 = ( 9 * √2 ) / ( √2 * √2 )   =  ( 9 * √2 ) / 2

Resposta : 

HP , altura de triângulo HMN, igual a  ( 9 * √2 ) / 2  , logo  c)

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(NOTA : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão )                         +++++++++++++++
Espero ter ajudado.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Ensinando devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem.Bom estudo