Question

O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente, (A) 9,4 m. (B) 11,0 m. (C) 18,8 m. (D) 22,0 m. (E) 25,1 m. Note e adote: pI Aprox: 3,14.

#FUVEST

Answer 1

22,0 metros letra d). Calculado usando soma dos termos de uma PA.

A primeira volta completa terá comprimento igual a 2$\pi$r=6$\pi$ (raio igual a 3)

A segunda volta terá 6,02$\pi$ e assim por diante.

Vamos então fazer uma pequena tabela de comprimento de fita para cada volta completa:

volta1 . . . 6$\pi$

volta2 . . . 6,02$\pi$

volta3 . . . 6,04$\pi$

volta4 . . . 6,06$\pi$

volta5 . . . 6,08$\pi$

volta6 . . . 6,10$\pi$

Portanto, o comprimento total de uma fita que deu 6 voltas será 36,3$\pi$, pois:

6*6 $\pi$+(0,02+0,04+0,06+0,08+0,10)$\pi$

Veja agora, que podemos escrever a soma

0,02+0,04+0,06+0,08+0,10 como $\frac{2}{100}*(1+2+3+4+5)</p><p></p><p>Repare ainda que a soma (1+2+3+4+5) pode ser escrita pela <strong>equação da soma de termos de uma PA:</strong></p><p>[tex]S=\frac{a\times(a+1)}{2}$

Com tudo isto feito, podemos agora descobrir quantos metros tem a fita com 100 voltas.

Ao dar 100 voltas teremos

6*100+$\frac{2}{100}\times\frac{99\times100}{2}$

portanto teremos 600+99=699.

(repare que contamos de 0 até 99 e não de 1 até 100 por que a primeira volta tem 0 fitas abaixo dela. logo a ultima fita é a fita 99)

Mas esta medida não é a medida de comprimento, mas sim uma "medidad e contagem".

Resta agora multiplicar este número por $\pi$

assim teremos 699$\pi$=2196 centimetros que é aproximadamente 22,0 metros (letra d)