Question

O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s. Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal (Para marcar um field goal no futebol americano um jogador tem que fazer a bola passar por cima do travessão e entre as duas traves laterais) a partir de um ponto situado a 50 m da meta, cujo travessão está 3,44 m acima do gramado?

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Answer 1

Resposta:

a) 31,12°

b 62,80°

$v_0 = 25m /s \\ \Delta_y = 3,44m \\ \Delta_x = 50m$

• Horizontal (M.U):

$\Delta_x = v_x.t \\ \Delta_x = v_o \cos \theta. t \\ t = \frac{\Delta_x}{ v_o \cos \theta } \\ \boxed{t = \frac{50}{25. \cos \theta } }$

• Vertical (M.U.V)

$y = yo + v_{oy}.t + \frac{at {}^{2} }{2} \\ \Delta y = v_o \sin \theta.t - \frac{gt {}^{2} }{2} \\ 3,44 = 25. \sin \theta .t- \frac{9 ,8.t {}^{2} }{2} \\ 3,44 = \cancel25. \sin \theta.( \frac{50}{ \cancel25 \cos \theta} ) - \frac{9,8}{2} .( \frac{50}{ 25 \cos \theta } ) {}^{2} \\ 3,44 = \frac{ \sin \theta.50}{ \cos \theta } - \frac{9,8}{2} .( \frac{2}{ \cos \theta} ) {}^{2} \\ 3,44 = 50 \tan \theta - 4,9.( \frac{4}{ \cos {}^{2} \theta } ) \\ 3,44 = 50 \tan \theta - \frac{19,6}{ \cos {}^{2} \theta } \\ 3,44 = 50 \tan \theta - \frac{19,6 }{1} . \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \theta) }$

$\sec {}^{2} \theta - \tan {}^{2} \theta = 1 \\ \boxed{ \frac{1}{ \cos {}^{2} \theta } = 1 + \tan {}^{2} \theta}$

$3,44 = 50 \tan \theta - 19,6.( 1 + \tan \theta ) \\ 3,44 = 50 \tan \theta - 19,6 - 19 ,6\tan {}^{2} \theta \\ 19,6 \tan {}^{2} \theta - 50 \tan \theta + 3,44 + 19,6 = 0 \\19 ,6 \tan {}^{2} \theta - 50 \tan \theta + 23 ,04 = 0$

$\Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \Delta = ( - 50) {}^{2} - 4.(19,6).(23,04) \\ \Delta = 2500 - 1806,336 \\ \boxed{\Delta = 693,664} \\ \\ \tan \theta = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \tan \theta = \frac{ - ( - 50) \pm \sqrt{693,664} }{2.19 ,6} \\ \tan \theta = \frac{50 \pm 26 ,33}{39 ,2} \\ \tan_1 \theta = \frac{50 + 26 ,33}{ 39, 2} \\ \boxed{\tan_1\theta = 1,9471} \\ \\ \tan_2\theta = \frac{50 - 26 ,33}{39 ,2 } \\ \boxed{\tan _2 \theta =0,6038}$

$\begin{cases} \arctan \theta_ 1 = \arctan(1,9471) = 62,80 {}^{ \circ} \\ \arctan \theta _2 = \arctan(0,6038) = 31,12 {}^{ \circ} \end{cases}$

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