Question

O centro de uma cidade do interior tem o seu mapa representado na figura, cuja unidade corresponde a 1 km. Nesse mapa, estão destacados alguns pontos importantes da cidade, e as linhas que ligam estes pontos são ruas. No aniversário da cidade, o prefeito vai realizar uma corrida e solicitou a um assessor que calculasse a distância que seria percorrida pelos atletas. As coordenadas dos pontos principais são: Prefeitura (16;1), Hospital (20;4), Praça (12;10), Museu (6;5,5), Rodoviária (6;3), Banco (1;3) e Igreja (1;1). O início da corrida será na Rodoviária e o final, na Prefeitura, sendo disputada no sentido horário:

A distância, em quilômetros, percorrida pelos atletas será de

a) 15 + 2√7.
b) 22.
c) 24,5.
d) 25.
e) 17√7.

Answer 1

Olá.

Temos uma questão de geometria.

 

A resposta certa está na alternativa D.

 

Para resolver essa questão, devemos descobrir a distância de cada local, para poder somar tudo no final. Vamos por partes (o anexo foi adicionado para melhor visualização da resolução).

 

A corrida passará pelos locais:

Rodoviária (6, 3) > Museu (6, 5,5) > Praça (12, 10) > Hospital (20, 4) > Prefeitura (16, 1)

 

----------

 

Seguiremos o modelo padrão para distinguir os eixos:

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{(x,~y)}}}$

 

Também será usado o Teorema de Pitágoras:

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{h^2=c^2+c^2}}}$,

Onde:

h: hipotenusa;

c: cateto.

 

----------

 

Para descobrir a distância da Rodoviária até a Museu, podemos subtrair os valores do eixo y em suas medidas. Teremos:

5,5 – 3 = 2,5

Da Rodoviária até o Museu tem 2,5km.

 

-----

 

Para descobrir a distância do Museu até a Praça, temos de formar um triângulo retângulo, onde devemos descobrir o valor dos catetos.

 

O cateto adjacente ao Museu será o resultado da subtração dos eixos x, enquanto o oposto será o resultado da subtração dos eixos y. Vamos descobrir o valor de cada cateto, c₁ e c₂. Teremos:

c₁ = 12 – 6

c₁ = 6

 

c₂ = 10 – 5,5

c₂ = 4,5

 

Para descobrir o valor que nomeei de x na imagem, podemos usar o Teorema de Pitágoras

 

Teremos:

$\mathsf{h^2=c^2+c^2}\\\\ \mathsf{x^2=6^2+4,5^2}\\\\ \mathsf{x^2=36+20,25}\\\\ \mathsf{x^2=56,25}\\\\ \mathsf{x=\sqrt{56,25}}\\\\ \boxed{\mathsf{x=7,5}}$

 

x tem 7,5 km.

 

-----

 

Para saber a distância da praça até o hospital, podemos traçar uma linha horizontal no eixo x, onde deveremos descobrir seu tamanho. Teremos:

20 – 12 = 8

 

Por também de tratar de um modelo de triângulo retângulo, podemos usar semelhança entre triângulos para descobrir o valor da hipotenusa (w na imagem). Teremos:

$\mathsf{\dfrac{hip}{cateto~adj.}= \dfrac{hip}{cateto~adj.}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{7,5}{6}= \dfrac{w}{8}}\\\\\mathsf{w\cdot6=7,5\cdot8}\\\\\mathsf{w\cdot6=60}\\\\\mathsf{w=\dfrac{60}{10}}\\\\\boxed{\mathsf{w=10}}$

 

w tem 10 km.

 

-----

 

Por último, temos de descobrir a distância do Hospital até a Prefeitura. Seguiremos o mesmo modelo do último caso, onde deveremos descobrir a distância no eixo x. Teremos:

4 – 1 = 3

 

Usando a mesma proporcionalidade, teremos:

$\mathsf{\dfrac{hip}{cateto~adj.}= \dfrac{hip}{cateto~adj.}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{7,5}{6}= \dfrac{z}{4}}\\\\ \mathsf{z\cdot6=7,5\cdot4}\\\\ \mathsf{z\cdot6=30}\\\\ \mathsf{z=\dfrac{30}{6}}\\\\ \boxed{\mathsf{z=5}}$

 

z tem 5 km.

 

----

 

Para finalizar, basta somar as distâncias. Teremos:

2,5 + 7,5 + 10 + 5 =

10 + 15 =

25

 

Sendo assim, a resposta está na alternativa D.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$