O carbono 14 é um isótopo radioativo de carbono 12, com uma meia-vida de cerca de 5700ª nos. Quando um organismo morre, o carbono 14 está no mesmo nível que o do ambiente, mas, logo em seguida, começa a se deteriorar. Podemos determinar a idade de um objeto ao saber a porcentagem de carbono-14 que permanece. Nós sabemos que (figura abaixo). Em que A(t) é a quantidade de carbono 14 remanescente após t anos, e A (0) é a quantidade de carbono 14 presente no momento 0 (quando o organismo morreu). Um casaco de pele tem apenas 45% da quantidade normal de carbono-14. Há quanto tempo os animais foram mortos para fazer o casaco?
Soluções para a tarefa
Conforme o conceito de decaimento radioativo, modelado pela equação , o tempo em que os animais foram mortos é de 6566 anos.
Segundo o cálculo diferencial e integral, a taxa de decaimento de um material radioativo é diretamente proporcional à quantidade presente desse material. Em termos matemáticos:
Sabe-se da matemática que para estabelecer uma igualdade, necessita-se multiplicar por um constante, denominada constante de proporcionalidade (aqui definida como k, constante de decaimento radioativo). Assim,
(1)
Integrando as integrais de a e de a , onde corresponde à quantidade de (inicialmente presente (imediatamente após a morte dos animais), à quantidade de remanescente após o tempo t, obtém-se:
(2)
Aplicando a função exponencial em ambos o lado da equação, temos:
(3)
(4)
(Lei do Decaimento Radioativo)
Pelo conceito de tempo de meia vida (),
ou (5)
Assim, aplica-se os dados fornecidos pelo problema para determinador o valor de , para obtermos uma solução geral da Equação Diferencial ordinária (4).
Dados:
tempo de meia-vida:
no tempo de meia vida
(6)
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação:
(7)
Dessa forma, a equação com solução particular se torna :
(8)
Levando em conta a problemática do enunciado do problema (ou seja, que a quantidade remanescente corresponde a 45% da quantidade inicialmente presente), é possível encontrarmos o tempo em que os animais foram mortos para confeccionar o casaco.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação: