Question

O cálculo dos limites envolvendo funções complexas se assemelha ao cálculo dos limites de funções reais. No entanto, no primeiro caso, está-se trabalhando no corpo dos números complexos, e, no segundo, com o corpo dos números reais.
Exercícios
2.
O cálculo dos limites envolvendo funções complexas se assemelha ao cálculo dos limites de funções reais. No entanto, no primeiro caso, está-se trabalhando no corpo dos números complexos, e, no segundo, com o corpo dos números reais.

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​​​​​​​​​​​​​​Após o cálculo, assinale a alternativa correta.


A.
2 + 2i.


B.
2 − 2i.


C.
4 − 4i.


D.
4 + 4i.


E.
1 − 4i.

Answer 1

• ✅ O valor do limite com números complexos é igual a D) 4 - 4i

Temos o seguinte limite com números complexos que devemos resolver:

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{4z^2 -8i}{z^2-2z+2}$

Vemos que temos uma parte real e uma parte imaginária na operação, se substituirmos o valor de todos os "z" que temos:

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{4(1+i)^2 -8i}{(1+i)^2-2(1+i)+2}$

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{8i -8i}{2i-2-2i+2}$

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{0}{0}$

Isso nos dá um indeterminado como resultado, mas o valor de um limite na maioria das vezes deve ser um valor completo, não indeterminado, vamos tentar factolizar o limite:

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{4z^2 -8i}{z^2-2z+2}$

Para fatorar este limite, tentaremos multiplicar pelo conjugado $4z ^ 2 -8i$

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i}4z^2-8i \dfrac{ \dfrac{4z^2-8i}{4z^2 -8i}}{z^2-2z+2}$

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{\dfrac {16z^4 +64}{4z^2-8i}}{z^2+2i}$

• Se tentarmos simplificá-lo, podemos obter o seguinte:

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{4(z^2+2z+2)}{{z^2 }+2i}$

Agora, se tentarmos substituir o valor de "z" em todas as partes da equação, obteremos:

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} \dfrac{4(2(1+i)+2)}{(1+i)2i}$

$\qquad \qquad \rm\lim_{z\to 1+i} 4-4i$

$\rule{10cm}{0.1mm}$

$\clubsuit\qquad \qquad \textcolor{LimeGreen}{\mathcal{ATTE:NITORYU}}\qquad \qquad \clubsuit$

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