Question

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.

Considere a transformação abaixo:


T(x,y)=(x+2y,2x+y)


Quais os autovalores e autovetores relacionados a essa transformação?

Alternativa 1:
Autovalores = -1 e 3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Alternativa 2:
Autovalores = 1 e 3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Alternativa 3:
Autovalores = 1 e -3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Alternativa 4:
Autovalores = -1 e 3; Autovetores = (1,3) e (-1,3)

Alternativa 5:
Autovalores = -1 e 1; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Answer 1

Analisando a transformação linear dada, calculamos que os autovalores são 3 e -1 e os autovetores são (1, 1) e (1, -1), alternativa 1.

Transformação linear

Para que um valor real k seja uma autovalor devemos ter T(v) = k*v, para algum vetor v não nulo. Utilizando a lei de formação da transformação linear T dada na questão proposta, podemos escrever:

(x + 2y, 2x + y) = (kx, ky)

Dessa forma, temos o sistema de equações lineares:

x + 2y = kx

2x + y = ky

Portanto, temos que, as soluções para k são 3 e -1 e esses são os autovalores de T.

Resolvendo o sistema para os valores de x e y, temos que:

x = y ou x = -y

Portanto, os autovetores são iguais a (1, 1) e (1, -1).

Para verificar a solução encontrada, podemos calcular:

T(1, 1) = (1 + 2, 2 + 1) = (3, 3) = 3*(1, 1)

T(1, -1) = (1 - 2, 2 - 1) = (-1, 1) = -1*(1, -1)

Para mais informações sobre transformação linear, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/52500661

#SPJ2

Answer 2

Resposta:

Autovalores = -1 e 3; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Explicação passo a passo: