Question

“O cálculo de áreas ainda é tema fundamental nas engenharias, seja da área de contato entre vigas (suporte) ou da área de terrenos ou peças. ”

A alternativa que corresponde à área entre as curvas y = 4 e y = x2 é:

Answer 1

Se traçarmos os gráficos das duas funções do enunciado, podemos perceber que a função $x^2$ passa com sua concavidade por baixo de y = 4 durante todo o trajeto que forma a área entre as duas.

Para encontrar a área, precisamos subtrair a função que está abaixo ($x^2$) da que está acima ($y = 4$) e integrar a subtração. Ou seja:

$A = \int{(4 - x^2) dx}$

Agora, é só resolver. Como temos uma subtração, podemos separar a integral em duas:

$\int{4dx} - \int{x^2dx}$

Agora é só fazer o reverso da regra de exponenciação de derivadas:

$\int{4dx} - \int{x^2dx} = 4\int{x^0dx} - \int{x^2dx} = 4(x) - \frac{x^3}{3} + C$

Tendo a integral indefinida, podemos determinar a área descobrindo os pontos onde as duas funções se tocam. Podemos descobrir esses pontos igualando-as:

$x^2 = 4\\\\x = \pm2$

Agora, é só substituir o resultado da integral indefinida por 2 e subtrair pela mesma substituição com -2:

$A = 4(2) - \frac{2^3}{3} - [4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}]\\\\A = 8 - \frac{8}{3} - [-8 - \frac{(-8)}{3}]\\\\A = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3}\\\\A = 16 - \frac{16}{3}\\\\A = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$

Ou seja, a área é $\frac{32}{3}$.