Question

O ar que ocupa inicialmente 0,180 m3 na pressão manométrica de 103,0 kPa

é expandido isotermicamente para uma pressão de 101,3 kPa e então esfriado

até que ele atinja seu volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. (A

pressão manométrica é a diferença entre a pressão absoluta e a pressão

atmosférica)​

Answer 1

O trabalho realizado pelo ar é igual a 7.274,14 J

Sabemos pelo enunciado que:

• Volume do ar (V) = 0,180 m³
• Pressão Manométrica (Pman) =  103,0 kPa = 103000 Pa
• Pressão após expansão isotermica (P₂) = 101,3 kPa = 101300 Pa

Então neste caso temos dois processos, um isotérmico e um isobárico, por tanto, temos que calcular os dois trabalhos e adiciona-los.

• Trabalho isotérmico:

Nesse ponto todos os estados estã com a mesma temperatura, assim a partir da Lei dos gases ideais temos:

$W_{1} = n*R*T\int\limits^v_{v_{0}}\frac{dv}{v}$

Para determinar o volume final do processo relacionamos o estado inicial e final:

$P_{0}V_{0} = P_{atm} * V\\\\V = \frac{P_{0}*V_{0} }{P_{atm}}$

Substituimos o valor na integral do trabalho:

$W_{1} = P_{0}*V_{0} * ln (\frac{P_{0}}{P_{atm}} )$

• Trabalho isobárico

Neste ponto o trabalho é feito a uma pressão constante assim, então aplicamos a Lei de Boyle:

$W_{2} =P\int\limits^{v_{o}}_{v} dv \\\\W_{2} = P*\Delta V\\\\W_{2} = P(V_{0} - V)\\\\W_{2} = P(V_{0} - \frac{P_{o}*V_{0}}{P_{atm}} )$

Lembramos que a pressão absoluta é a soma entre a pressão manométrica e a pressão

atmosférica, e logo unimos a equação de os dois trabalhos, e subtituimos os dados:

$W_{t} = W_{1} + W_{2}\\\\W_{t} = P_{0}*V_{0}*ln(\frac{P_{0}}{P_{atm}}) + (P_{atm} - P_{0})*V_{0}\\\\W_{t} = (P_{0}*ln(\frac{P_{0}}{P_{atm}}) + P_{atm} - P_{0})*V_{0}$

$P_{abs} = P_{man} + P_{atm}\\\\P = 103000 + 101325\\\\P = 204325\;Pa = 2,04*10^{5} \;Pa$

$W_{total} = [(2,04*10^{5} \;Pa) \;*\;ln(\frac{2,04*10^{5} \;Pa}{1,01*10^{5} \;Pa}) + (1,01*10^{5} \;Pa) - (2,04*10^{5} \;Pa)]*(0,180m^{3})$

$W = 7274,14\;Joule$