Question

O ângulo externo de um polígono regular é igual a 1/8 da medida do seu ângulo interno. Qual é esse polígono?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Patyta, que a resolução é simples.

Antes note que a soma dos ângulos externos de um polígono regular SEMPRE é igual a 360º.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para consertar a nossa "precipitação" ao informar, na nossa primeira resposta, que esse polígono tinha apenas 8 lados. Mas estamos editando a resposta exatamente pra "consertar" isso. Por isso é que estamos fazendo a edição bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que todo ângulo externo (Ae)  terá a seguinte medida: 360º dividido pelo número de lados). Então um ângulo externo de um polígono regular terá a seguinte medida:

Ae = 360/n , em que "n" é o número de lados      . (I)   

ii) E veja que todo ângulo interno (Ai) de um polígono regular terá a seguinte medida:

Ai = 180*(n-2)/n , em que "n" é o número de lados        . (II)

iii) Temos ainda a informação de que um ângulo externo (Ae) mede 1/8 do ângulo interno (Ai). Então, teremos isto:

Ae = Ai/8 ----- agora basta que substituamos "Ae" e "Ai" por seus correspondentes encontrados nas expressões (I) e (II), respectivamente. Assim, teremos:

360/n = {[180*(n-2)]/n}/8 ---- ou, o que é a mesma coisa:
360/n = [180*(n-2)]/8*n --- ou apenas:
360/n = 180*(n-2)/8n ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
8n*360 = n*180*(n-2) ----- efetuando-se os produtos indicados nos 2 membros, temos:
2.880n = 180n *(n-2) ---- continuando o desenvolvimento, temos:
2.880n = 180n² - 360n ----- passando "2.880n" para o 2º membro, ficamos:
0 = 180n² - 360n - 2.880n ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 180n² - 3.240n ---- ou, invertendo-se, teremos:
180n² - 3.240n = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "180", com o que ficaremos apenas com:

n² - 18n = 0 ---- vamos colocar "n" em evidência, com o que ficamos:
n*(n - 18) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
n = 0 ---> n' = 0 <--- raiz inválida, pois um polígono não tem "0" lados.

ou
n - 18 = 0 ---> n'' = 18 <--- raiz válida.

iv) Assim, tomando-se apenas a raiz válida vista aí em cima, temos que o polígono regular da sua questão tem:

n = 18 lados <--- Esta é a resposta. Ou seja, o polígono da sua questão tem 18 lados.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade: se o polígono tem 18 lados, então um ângulo interno (Ai) vai medir isto[(lembre-se: Ai = 180*(n-2)/n]:

Ai = 180*(18-2)/18
Ai = 180*16/18
Ai = 2.880/18 -------- veja que esta divisão dá exatamente igual a "160". Logo:
Ai = 160º <--- Esta é a medida de um ângulo interno de um polígono de 18 lados.

Agora vamos ver quanto mede um ângulo externo. Como você viu, um ângulo externo de qualquer polígono regular é igual a 360º/n". Então, teremos:

Ae = 360/18
Ae = 20º <--- Esta é a medida de um ângulo externo de um polígono de 18 lados.

E, finalmente, veja que "20º" é exatamente 1/8 de "160º". Veja:

20º = 160º/8
20º = 20º <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como um ângulo externo de um polígono de 18 lados mede exatamente "1/8" da medida de um ângulo interno desse mesmo polígono.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.