Question

O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir?

π1: x - 2y + z - 6 = 0

π2: 2x - y - z + 3 = 0

Answer 1

Resposta:

O ângulo entre os planos é θ = 60º.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar o produto escalar entre os vetores normais aos planos dados.

Seja a equação do plano π : ax + by + cz + d = 0 o seu vetor diretor é u = (a, b, c) e considerando os vetores u e v temos |u . v| = |u| . |v| . cos θ.

De acordo com os dados do enunciado obtemos os seguintes vetores diretores:

π1: x - 2y + z - 6 = 0 ⇒ u = (1, -2, 1)

π2: 2x - y - z + 3 = 0 ⇒ v = (2, -1, -1)

Calculando o produto escalar:

u . v = x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂

u . v = 1.2 + (-2).(-1) + 1.(-1)

u . v = 2 + 2 - 1

u. v = 3

Calculando o cosseno:

|u . v| = |u| . |v| . cos θ

3 = √(1² + (-2)² + 1²) . √(2² + (-1)² + (-1)²) . cos θ

3 = √6 . √6 . cos θ

3 = 6 . cos θ

cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60º

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ângulo entre os referidos planos é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta = 60^{\circ}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os planos:

           $\Large\begin{cases} \pi_{1}: x - 2y + z - 6 = 0\\\pi_{2} : 2x - y - z + 3 = 0\end{cases}$

Para calcular o ângulo entre os planos devemos calcular o ângulo entre seus vetores normais. Então, devemos:

• Recuperar os vetores normais de ambos os planos.

        Sabemos que as componentes do vetor normal de um plano são os coeficientes de cada uma de suas variáveis. Então, temos:

                     $\Large\begin{cases} \vec{n_{1}} = (1, -2, 1)\\\vec{n_{2}} = (2, -1, -1)\end{cases}$

• Calcular o ângulo entre os vetores normais.

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \theta = \textrm{ang}(\vec{n_{1}},\,\vec{n_{2}})\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{\vec{n_{1}}\cdot\vec{n_{2}}}{\parallel\vec{n_{1}}\parallel\cdot\parallel\vec{n_{2}}\parallel}\bigg)\end{gathered} }$

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{(1,-2, 1)\cdot(2,-1,-1)}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}+ (-1)^{2} + (-1)^{2}}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-1)}{\sqrt{6} \cdot\sqrt{6}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{2 + 2 - 1}{\sqrt{6\cdot6}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{3}{\sqrt{36}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{3}{6}\bigg)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 60^{\circ}\end{gathered}$

Portanto, o ângulo entre os planos é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = 60^{\circ}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$