Question

O ângulo entre os plano π: -x+z-1=0 e π: x+y-10=0 mede
a) 45
b) 60
c) 90
d) 15
e) 30

Answer 1

O ângulo entre os planos é o ângulo entre os vetores normais dos planos.

Sejam V1 e V2 os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é igual aos coeficientes dos termos x, y e z da equação. Então

$V1 = \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\end{array}\right] \\V2 = \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right]$

Agora é só achar o ângulo entre eles. Da definição de produto escalar, temos

$cos\alpha = \frac{|V1 . V2|}{||V1||||V2||}$

Onde alfa é o ângulo entre eles. Sabemos a norma de V1

$||V1|| = \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} \\||V1|| = \sqrt{2}$

e também sabemos a norma de V2:

$||V2|| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} \\||V2|| = \sqrt{2}$

Por fim, basta achar o módulo do produto escalar entre eles

$|V1 . V2| = (-1)(1) + (0(1) + (1)(0)\\|V1 . V2| = 1$

Substitui tudo isso no fórmula lá em cima do cosseno

$cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2} }\\cos\alpha = \frac{1}{2} \\\alpha = 60$

Resposta: alternativa B) 60º..