Question

O algarismo da unidade do número 2017 elevado a 2017 é igual a :
a)1
b)3
c)5
d)7
e)9

Answer 1

Como o último algarismo de  2017  é  7,  vamos observar o que acontece com as potências de  7:

     •  7¹ = 7

     •  7² = 7 · 7 = 49

     •  7³ = 7 · 7 · 7 = 343

     •  7⁴ = 7 · 7 · 7 · 7 = 2401


Como obtivemos uma potência de  7  cujo algarismo das unidades é  1,  todas as outras potências seguintes terão o algarismo das unidades seguindo o ciclo  (7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...).  Esse fato irá se repetir para todas as potências de  7  a cada acréscimo de  4  unidades no expoente.

Isso será de grande utilidade para resolver o nosso problema, pois com isso, podemos afirmar que o algarismo das unidades de  2017⁴  também é  1.


Agora nos resta saber qual é o resto da divisão do expoente  2017  por  4.

     2017 = 2016 + 1

     2017 = 4 · 504 + 1


O algarismo das unidades de  2017⁴  é  1.  Segue que o algarismo das unidades de

     $\mathsf{(2017^4)^{504}}\\\\ =\mathsf{2017^{4\,\cdot\,504}}\\\\ =\mathsf{2017^{2016}}$

também é  1.


Logo, o algarismo das unidades de

     $\mathsf{2017^{2016}\cdot 2017}\\\\ =\mathsf{2017^{2016+1}}\\\\ =\mathsf{2017^{2017}}$ 


é

     $\mathsf{1\cdot 7}$

     $=\mathsf{7\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$

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Utilizando a notação de congruência modular.

O algarismo das unidades de um número coincide com o resto da divisão desse número por  10,  pois utilizamos o sistema de numeração decimal (base 10).

Com isso, temos que

     $\mathsf{2017=10\cdot 201+7}\\\\ \mathsf{2017\equiv 7\quad(mod~10)}$


Elevando os dois lados da congruência à 4ª potência, temos

     $\mathsf{2017^4\equiv 7^4\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{2017^4\equiv 2401\equiv 1\quad(mod~10)}$


Eleve os dois lados  a  504:

     $\mathsf{(2017^4)^{504}\equiv 1^{504}\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{2017^{4\,\cdot\,504}\equiv 1^{504}\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{2017^{2016}\equiv 1\quad(mod~10)}$


Multiplique os dois lados por  2017:

     $\mathsf{2017^{2016}\cdot 2017\equiv 1\cdot 2017\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{2017^{2016+1}\equiv 2017\quad(mod~10)}\\\\ \mathsf{2017^{2017}\equiv 2017\equiv 7 \quad(mod~10)}$


Como  0 ≤ 7 < 10,  concluímos que o algarismo das unidades de  2017²⁰¹⁷  é  7.


Resposta:  alternativa  d)  7.


Bons estudos! :-)