Question

O administrador da fábrica AZUL deseja comprar um equipamento para lavagem do jeans, que irá resultar em uma economia de custos operacionais. Tal economia é dada pela função f(x) unidades monetárias por ano, quando o equipamento estiver x anos em uso: f(x) = 1000x + 250, para 0 ≤ x ≤ 10. Utilizando integral definida, determine:

A) Qual a economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 4 primeiros anos?

B) Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$
35.000.00?

Answer 1

Resposta:

A) A economia de custos operacionais que a  compra do equipamento irá resultar nos 4 primeiros anos é de R$ 9.000,00.

B) O equipamento estará pago após aproximadamente 8,12 anos.

Explicação passo a passo:

A) Calculando a integral indefinida da função f(x):

$\int{(1000*x+250)} \, dx = 500*x^2 + 250*x + C$

Assim a integral definida pode ser calculada:

[500*4^2 + 250*4 + C] - [1000*0 + 250*0 + C]  

= 500*16 + 1000 + C - C

= 8000 + 1000 = 9000

B) Para que o equipamento esteja pago, a economia obtida deverá se igualar ao custo do equipamento. Como sabemos que a economia obtida em x=0 é zero, podemos considerar C = 0. Então precisamos resolver a equação abaixo:

500*x^2 + 250*x = 35.000

Dividindo a equação por 250:

2*x^2 + x = 140

2*x^2 + x - 140 = 0  

Usando a fórmula de Bhaskara:

x = (-1 +/- raiz(1 + 1120))/4

x = (-1 +/- raiz(1121))/4

x = (-1 +/- 33,48) / 4

As soluções são:

x = -34,48/4

ou  

x = 32,48/4  

A solução negativa não faz sentido, então:

x = 8,12 anos