Question

O 2º e o 6º termo de uma PA crescente são as raízes de x²-14x-15=0. Determine a soma dos sete primeiros termos desta PA.

Answer 1

Para descobrirmos as raízes da equação de 2º grau usaremos a fórmula de Bhaskara.
$\frac{-b +- \sqrt delta }{2.a}$
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-14)² - 4.1.(-15)
Δ = 196 + 60
Δ = 256
x₁ =$\frac{ -(-14) + \sqrt256}{2.1}$
x₁ =$\frac{ 14 + 16}{2}$
x₁ = 15
x₂ = $\frac{ 14 - 16}{2}$
x₂ = -1

Deduz-se que o 2º termo é -1 e o 6º é 15, já que é uma PA crescente. Cria-se um sistema então:
$\left \{ {{a1 + (2-1).R = -1} \atop {a1 + (6-1).R = 15}} \right.$
Sendo a1 o primeiro termo da PA e R a razão desta PA.
$\left \{ {{a1 + R = -1} \atop {a1 + 5.R = 15}} \right.$
a1 = -1 - R
-1 - R + 5.R = 15
4.R = 16
R = 4
a1 = -1 - 4
a1 = -5
Antes de realizarmos a soma dos 7 primeiros termos da PA, temos que descobrir qual é o sétimo termo.
a7 = -5 + (7-1).4
a7 = -5 + 24
a7 = 19
A soma de PA se dá por:
Sn = $\frac{(a1 + an).n}{2}$
Sn = $\frac{(-5 + 19).7}{2}$
Sn = 14.3,5
Sn = 49