Question

Números complexos e imaginários (50 pts)


1) Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo z= ( -8y + 16 ) +i, seja um imaginário puro. 

2) Determine o valor de k, de tal forma que o número complexo z = k (k² - 2k +1 ) seja um número real. 

3) Calcule o valor das expressões, sendo i a unidade imaginária de um número complexo: 
( ver anexo ) 

4) O conjunto de ( ver anexo ) é: 

a) -1 

b) -2 elevado a 8 

c) i 

d) 2 elevado a 8 

e) 1 

5) O quociente ( ver anexo ) é igual a: 

a) 1 + 2i 

b) 2 + i 

c) 2 + 2i 

d) 2 + 3i 

e) 3 + 2i

Answer 1

1) Para que um número complexo seja imaginário puro, sua parte real precisa ser igual a zero.

$z=(-8y+16)+i\\\\ -8y+16=0\\\\ 8y=16\\\\ y=\frac{16}{8}\\\\ \boxed{y=2}$

2) $z=k(k^2-2k+i)\\\\ z=k^3-2k^2+ki\\\\ \boxed{k=0}$


3) a) $i^1^0 = i^2\\\\ i^1^0 = -1\\\\ i^2^0 = i^0\\\\ i^2^0=1\\\\ -1+2\\\\ \boxed{\boxed{1}}$

b) $i^6^3 = i^3\\\\ i^6^3=-i\\\\ i^1^0^0^0 = i^0\\\\ i^1^0^0^0 = 1\\\\ 8(-i)+1+8i\\\\ -8i+8i+1\\\\ \boxed{\boxed{1}}$

c) $i^5^7 = i^1\\\\ i^5^7=i\\\\ i^2^0^3 = i^3\\\\ i^2^0^3=-i\\\\ \frac{i-i}{280}\\\\ \frac{0}{280}\\\\ \boxed{\boxed{0}}$

d) $i^3^0^7 = i^3\\\\ i^3^0^7 = -i\\\\ i^4^0^7=i^3\\\\ i^4^0^7=-i\\\\ i^1^4=i^2\\\\ i^1^4=1\\\\ \frac{-i-i}{1}\\\\ \boxed{\boxed{-2i}}$

4) $z=\frac{1+(1-i)^1^6-2^-^8}{(1+i)^1^6}\\\\ (1-i)^1^6 = (1-i)^2^(^8^) = (-2i)^8\\\\ (-2i)^2^(^4^) = (-4)^4 = 256\\\\ (1+i)^1^6 = 256\\\\ 2^-^8 = \frac{1}{256}\\\\ z=\frac{1+256-\frac{1}{256}}{256}\\\\ z=\frac{\frac{65791}{256}}{256}\\\\ \boxed{z=\frac{65791}{65536}} \\\\ \boxed{z\approx\ 1}$

5) $z=\frac{8+i}{2-i}\ \frac{2+i}{2+i}\ \frac{16+8i+2i+1}{4+2i-2i+1} \\\\ \boxed{z=\frac{17+10i}{5}}\\\\ \boxed{quociente = 2+i}$