Question

Numa urna, são misturadas 10 bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas    (a, b) sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10?

Answer 1

Olá, Alinefs.

De uma urna de 10 bolas são retiradas 2 sem reposição.
Isto significa, em termos matemáticos, que estamos retirando da urna uma combinação de 10 elementos possíveis tomados 2 a 2.
Por que combinação e não arranjo? Simples. Como não há reposição, a ordem não faz diferença aqui. Retirar, por exemplo, primeiro a bola 1 e depois a bola 2 é o mesmo que retirar a bola 2 e depois a bola 1.
O número de combinações possíveis de duas bolas retiradas é, portanto:

$N=C_{10,2}=\binom{10}2=\frac{10!}{(10-2)!2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2\cdot1}=45$

As combinações de bolas cuja soma é igual a 10 são:

$(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)$

Lembrando que, conforme já explicado, neste caso uma combinação de bolas (a,b) é igual a uma combinação de bolas (b,a).

Assim, das 45 combinações possíveis de bolas, o número de combinação de bolas cuja soma é igual a 10 é $n=4.$

A probabilidade, portanto, de que duas bolas retiradas da urna sem reposição tenham soma igual a 10 é de:

$P=\frac{n}{N}=\boxed{\frac4{45}}$