Question

Numa prova com três questões(A,BeC),verificou se que:
Um aluno e escolhido ao acaso.Qual e a probabilidade de ele ter acertado:
a)pelo menos duas questões?
b)exatamente uma questão?

Answer 1

Seja $x$ a quantidade de questões certas.

Para cada questão, a probabilidade de acerto é $\dfrac{1}{3}$ e a probabilidade de erro é $\dfrac{2}{3}$.

Usaremos a notação $c$ para questão certa e $e$ para questão errada. Assim, por exemplo, a expressão

$p\left(c,e,e \right )$

indica a probabilidade de a primeira questão estar certa e de a segunda e a terceira questões estarem erradas.


a) A probabilidade de pelo menos duas questões estarem certas é igual à probabilidade de acertar exatamente duas ou todas as três questões:

$\boxed{p\left(2\leq x\leq 3 \right )=p\left(x=2 \right )+p\left(x=3 \right )}$


$\bullet\;\;$  Calcular a probabilidade de acertar exatamente duas questões ($p\left(x=2 \right )$):

$p\left(x=2 \right )=p\left(c,\,c,\,e \right )+p\left(c,\,e,\,c \right )+p\left(e,\,c,\,c \right )\\ \\ p\left(x=2 \right )=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\\ \\ p\left(x=2 \right )=\dfrac{2}{27}+\dfrac{2}{27}+\dfrac{2}{27}\\ \\ p\left(x=2 \right )=\dfrac{2+2+2}{27}\\ \\ p\left(x=2 \right )=\dfrac{6}{27}\\ \\ \boxed{p\left(x=2 \right )=\dfrac{2}{9}}$


$\bullet\;\;$  Calcular a probabilidade de acertar todas as três questões ($p\left(x=3 \right )$):

$p\left(x=3 \right )=p\left(c,\,c,\,c \right )\\ \\ p\left(x=3 \right )=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\\ \\ \boxed{p\left(x=3 \right )=\dfrac{1}{27}}$


Então, a probabilidade de acertar pelo menos duas questões é

$p\left(2\leq x\leq 3 \right )=\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{27}\\ \\ p\left(2\leq x\leq 3 \right )=\dfrac{6}{27}+\dfrac{1}{27}\\ \\ p\left(2\leq x\leq 3 \right )=\dfrac{6+1}{27}\\ \\ \boxed{p\left(2\leq x\leq 3 \right )=\dfrac{7}{27}}$


b) A probabilidade de acertar exatamente uma questão é

$p\left(x=1 \right )=p\left(c,\,e,\,e \right )+p\left(e,\,c,\,e \right )+p\left(e,\,e,\,c \right )\\ \\ p\left(x=1 \right )=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\\ \\ p\left(x=1 \right )=\dfrac{4}{27}+\dfrac{4}{27}+\dfrac{4}{27}\\ \\ p\left(x=1 \right )=\dfrac{4+4+4}{27}\\ \\ p\left(x=1 \right )=\dfrac{12}{27}\\ \\ \boxed{p\left(x=1 \right )=\dfrac{4}{9}}$