Question

numa progressão geométrica tem-se a4 = -80 e a7 = 640 a soma dos oito primeiros termos e
A) -1700
B) -850
C) 850
D) 1700
E) 750

Answer 1

A fórmula do termo geral de uma $PG$ é $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Assim $a_4=a_1\cdot q^3 \ (i)$ e $a_7=a_1\cdot q^6$.

Logo, $\dfrac{a_7}{a_4}=\dfrac{a_1\cdot q^6}{a_1\cdot q^3}=q^3$.

Como $a_4=-80$ e $a_7=640$, temos que $q^3=\dfrac{640}{-80}$

$\iff q^3=-8 \iff q=\sqrt[3]{8} \iff q=-2$

Lembrando que $a_4=a_1\cdot q^3$ e $a_4=-80$, segue que, $-80=a_1\cdot(-2)^3$

$\iff -80=a_1\cdot(-8) \iff a_1=\dfrac{-80}{-80} \iff a_1=10$.

Agora podemos calcular o que se pede:

$S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^{n}-1)}{q-1}$

$S_8=\dfrac{10\cdot(-2)^8-1}{-2-1}$

$S_8=\dfrac{10\cdot(256-1)}{-3}$

$S_8=\dfrac{10\cdot255}{-3}$

$S_8=\dfrac{2550}{-3}$

$S_8=-850$

$\text{Alternativa B}$