Question

Numa progressão aritmética de r= -3, a soma dos n primeiros termos é -390 e Un= -48. Calcula n

Answer 1

É uma questão bem elaborada, e requer um pouco de tempinho, mas vamos lá.

Precisamos saber o valor de n, e sabemos a razão que é -3, o enésimo (termo n) termo que é -48, e que a soma do primeiro termo até o enésimo termo é -380. Então, vamos revisar as fórmulas de P.A:

$a_n = a_1 + (n-1) *r,\\\\S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$

primeiramente vamos substituir os valores na segunda equação e depois desenvolver, e isolar o a1:

$-390 =\frac{n*(a_1 + (-48))}{2} \\\\-390*2 = a_1n - 48n\\\\a_1n - 48n = -780\\\\a_1n = -780+48n\\\\a_1 = \frac{-780+48n}{n}$

Estabelecemos o valor do a1, agora vamos substituir esse valor que achamos no lugar do a1 na primeira equação:

$-48 = \frac{-780 + 48n}{n}+(n - 1) * (-3)\\\\-48 =  \frac{-780 + 48n}{n} -3n + 3$

Agora um detalhe, irei multiplicar ambos os lados da equação por n (caso não entenda o motivo do cálculo revise algumas vezes, até entender):

$-48n = -780 + 48n -3n^2 +3n \ \ / / Passe \ o \ -48n \ pro \ lado \ dos \ outros \ numeros \\\\-3n^2 +99n -780 = 0 \ \ // Simplifique \ dividindo \ a \ conta \ por \ 3\\\\-n^2+33n-260 = 0 \ \ //Multiplique \ por \ -1\\\\n^2 - 33n +260 = 0$

Repare que agora temos uma equação de segundo grau, isso significa que devemos fazer Bhaskara (eu sei bem chatinho):

$\Delta = (-33)^2 - 4 * 1 *260\\\\\Delta = 1089 - 1040\\\\\Delta = 49$

Achamos Delta vamos a próxima etapa achar o tão querido valor de n:

$n' = \frac{-(-33) +  \sqrt{49} }{2} \\\\ n' = \frac{ 33 + 7 }{2} \\\\n' = \frac{40}{2} \\\ \boxed{n' = 20}$

$-------- \\\\n'' =  \frac{-(-33) -  \sqrt{49} }{2}\\\\n'' = \frac{ 33 - 7 }{2} \\\\n'' = \frac{ 26 }{2} \\\\\boxed{ n'' = 13}$

Finalmente, então concluímos nesse caso que n pode assumir 2 valores diferentes! Esse é nosso conjunto solução para n:

$\boxed{ S= (20 ; 13) }$

Bons estudos ! Dúvidas ? Pergunte :)