Question

numa pg de seis termos, a soma dos termos de ordem impar é 182, e a dos de ordem par é 546. determinar essa pg

Answer 1

Olá Ana,

vamos representar os termos de uma P.G., genericamente:

$\begin{cases}a_1\\ a_2=a_1*q\\ a_3=a_1*q^2\\ a_4=a_1*q^3\end{cases}\\ ~~~~.~~~~~~~~~~~~.\\ ~~~~.~~~~~~~~~~~~.$

Sendo assim, podemos expressar os termos pares (2,4,6) e ímpares (1,3,5), da seguinte maneira:

$\begin{cases}a_1+a_3+a_5=182\\ a_2+a_4+a_6=546\end{cases}~\to~\begin{cases}a_1+(a_1*q^2)+(a_1*q^4)=182~~(I)\\ (a_1*q)+(a_1*q^3)+(a_1*q^5)=546~~(II)\end{cases}$

Pondo a1 em evidência na equação I, e a1*q na equação II, e dividindo a equação II pela equação I, teremos:

$\begin{cases}a_1*(1+q^2+q^4)=182~~(I)\\ a_1*q*(1+q^2+q^4)=546~~(II)\end{cases}\to~ \dfrac{\not{a_1}*q*(\not1+\not{q^2}+\not{q^4})}{\not{a_1}*(\not{1}+\not{q^2}+\not{q^4})}= \dfrac{546}{182}\\\\\\ q= \dfrac{546}{182}~\to~q=3$

Sabendo-se que a razão da P.G. vale 3, podemos substituí-la na equação I:

$a_1*(1+q^2+q^4)=182\\ a_1*(1+3^2+3^4)=182\\ a_1*(1+9+81)=182\\ a_1*91=182\\\\ a_1= \dfrac{182}{91}\\\\ a_1=2$

Descoberta a razão q, e o primeiro termo, podemos escrever a P.G.:

$\boxed{P.G.=(2,6,18,54,162,486)}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))