Question

Numa PG, a3+a5 = 5 e a4+a6=10. Calcular a razão.

Answer 1

a3 + a5 = 5 

a3 + (a3*q²) = 5 

a3*(1 + q²) = 5 

a4 + a6 = 10 

a4 + (a4*q²) = 10 

a4*(1 + q²) = 10 

a3*q*(1 + q²) = 10 

a3*(1 + q²) = 5 

---Multiplicando a segunda por 2: 

2*a3*(1 + q²) = 10 

a3*q*(1 + q²) = 10 

---Igualando as duas: 

2*a3*(1 + q²) = a3*q*(1 + q²) 

---Cancelando-se a3 e (1 + q²) 

q = 2. 

---Verificação: 

a5 = a3*q² 

(5 - a3) = a3*q² 

---Substituindo-se q = 2: 

(5 - a3) = a3*2² 

4*a3 = 5 - a3 

4*a3 + a3 = 5 

5a3 = 5 

a3 = 5/5 

a3 = 1. 

a5 = a3*q² 

a5 = 1*2² 

a5 = 4. 

a4 = a3*q 

a4 = 1*2 

a4 = 2 

a4 + a6 = 10 

2 + a6 = 10 

a6 = 10 - 2 

a6 = 8. 

P.G. é (1,2,4,8) e a razão é q = 2.

Answer 2

E aí véio,

vamos representar genericamente os termos da P.G. acima:

$a_3~\to~a_1*q^2\\ a_4~\to~a_1*q^3\\ a_5~\to~a_1*q^4\\ a_6~\to~a_1*q^5$

Montando o sistema de duas equações do 1º grau, pondo a1 e q em evidência, depois dividindo a equação II pela equação I, teremos:

$\begin{cases}a_1*q^2+a_1*q^4=5~~(I)\\ a_1*q^3+a_1*q^5=10~~(II)\end{cases}\therefore\begin{cases}a_1*(q^2+q^4)=5~~(I)\\ a_1*(q^3+q^5)=10~~(II)\end{cases}\\\\\\ ~\to~\begin{cases}a_1*q^2*(1+q^2)=5~~(I)\\ a_1*q^3*(1+q^2)=10~~(II)\end{cases}\\\\\\ \dfrac{a_1*q^3*(1+q^2)}{a_1*q^2*(1+q^2)}= \dfrac{10~~(II)}{5~~(I)}~\to~q=2$

Portanto, a razão (q) da P.G., vale 2 .

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))