Question

Numa PG, a soma do 3° termo e do 5° termo e do 5°termo é iguala 360 e a soma do 4° e do 6° termo é igual a 1080. Determine a razão e o 1°termo dessa PG.

Answer 1

Olá,

deixando os termos da P.G. de forma genérica..

$a_3=a_1\cdot q^2\\ a_4=a_1\cdot q^3\\ a_5=a_1\cdot q^4\\ a_6=a_1\cdot q^5$

Foi dito que..

$(a_1\cdot q^2)+(a_1\cdot q^4)=360~~(i)\\ (a_1\cdot q^3)+(a_1\cdot q^5)=1.080~~(ii)$

pondo 1+q² em evidência, podemos anula-los..

$\begin{cases}a_1\cdot q^2\cdot(1+q^2)=360~~(i)\\ a_1\cdot q^3\cdot(1+q^2)=1.080~~(ii)\end{cases}$

Podemos então dividir ii por i, e assim obtermos a razão (q), da P.G.:

$\dfrac{a_1\cdot q^3}{a_1\cdot q^2}= \dfrac{1.080}{360} ~\dfrac{(ii)}{(i)}~\to~q=3$

Feito isso, podemos substituir a razão encontrada, em uma das equações, vamos pela i..

$(a_1\cdot q^2)+(a_1\cdot q^4)=360\\ (a_1\cdot3^2)+(a_1\cdot3^4)=360\\ (a_1\cdot9)+(a_1\cdot81)\\9a_1+81a_1=360\\90a_1=360\\\\ a_1= \dfrac{360}{90}\\\\ a_1=4$

Portanto, a razão vale 3 e o primeiro termo vale 4.

Tenha ótimos estudos ;D