Question

Numa papelaria, um livro de contos quando vendido a R$20,00 tem tiragem de 300 livros. Visando um maior lucro, foi feita uma pesquisa e o resultado mostrou que a cada aumento de R$2,00 no preço de cada livro, 10 livros a menos eram vendidos. O preço para que a arrecadação com a venda dos livros seja máxima é igual a:

Answer 1

Resposta:

R$ 8.000

Explicação passo-a-passo:

Se aumentarmos o preço de cada livro em 2 reais temos menos 10 livros vendidos. Ou seja:

y = (20 + 2x) × (300 - 10x)

y = (20 × 300) + (20 × (-10x)) + (2x × 300) + (2x × (-10x))

y = 6000 - 200x + 600x - 20x^2

$y = - 20x ^{2} + 400x + 6000$

Então, sabemos que o maior valor possível para y será igual ao maior arrecadamento. Como a função tem a concavidade voltada para baixo já que a < 0. Logo, o maior valor que y pode assumir é o y do vértice (Yv). Sabemos que:

Yv = -∆ / 4a

$yv = - ( {b}^{2} - 4ac) \div 4a$

Yv = - ((400)^2 - 4×(-20)×600) ÷ 4×(-20)

Yv = - (160000 + 480000) ÷ (-80)

Yv = -640000 ÷ -80

Yv = 8000

Logo, o maior valor possível para arrecadar é:

R$ 8000

Espero ter ajudado. Bons estudos!

Answer 2

Resposta: R$ 40,00 cada livro

Explicação passo-a-passo:

* De acordo com o dados do enunciado, vamos montar um sistema de equações do 1° grau para obtermos a função preço:

Livros ---- Preço

X ----------- Y

300 ------- 20,00

290 --------22,00

* Para a função do tipo "y = a•x + b" temos o seguinte sistema:

20,00 = 300•a + b >> 1ª equação

22,00 = 290•a + b >> 2ª equação

* Resolvendo o Sistema pelo método da adição:

20 = 300•a + b

22 = 290•a + b (-1)

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-2 = 10•

a = -2/10

a = -0,2

substituindo "a= -0,2" em qualquer das equações teremos um valor para "b", veja:

20 = 300a + b

20 = 300•(-0,2) + b

20 = -60 + b

b = 20 + 60

b = 80

* temos que a função preço é dada por:

y = ax + b

p = -0,2q + 80

Onde q= quantidade de livros vendidos

* Através da fórmula da Receita Total vamos obter uma função do 2° grau e assim obter a quantidade máxima de livros que pode ser vendida:

R(x) = p•q

R(x) = (-0,2q + 80)•q

R(x) = -0,2q² + 80q

>> a= -0,2 , b= 80 , c= 0

* Calculando o vértice Xv (onde o eixo "x" intercepta o ponto máximo da parábola no plano cartesiano), temos:

Xv = -b/2•a

Xv = -80/2•(-0,2)

Xv = -80/-0,4

Xv = 80/0,4

Xv = 200 livros

* Por fim, sabendo que a quantidade máxima é de 200 livros, se substituirmos esse valor na função preço teremos que:

p = -0,2q + 80

p = -0,2•(200) + 80

p = -40,00 + 80

p = 40,00

>>RESPOSTA: O preço para que a arrecadação com a venda dos livros seja máxima é igual a R$ 40,00

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PS: apenas por curiosidade, vamos calcular a Receita Máxima com a venda dos livros, de acordo com os dados obtidos anteriormente:

* Sabendo que "R(x) = -0,2q² + 80q"

* A receita será máxima onde o eixo "y" intercepta o ponto máximo da parábola no plano cartesiano, para isso utilizamos o cálculo do vértice Yv:

Yv = -Δ / 4•a

Yv = -(b² - 4•a•c) / 4•a

Yv = -(80² -4•(-0,2)•0) / 4•(-0,2)

Yv = -(6.400 + 0) / -0,8

Yv = -6.400 / -0,8

Yv = 6.400 / 0,8

Yv = 5.120,00

>> ou seja, a receita máxima com a venda dos livros será de R$ 5.120,00

Bons estudos!