Question

Numa PA decrescente de três termos, a soma desses termos é 30 e o produto deles é 960. O primeiro termo da sequência é

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Miguel, que a resolução é simples.
Pede-se o primeiro termo de uma PA decrescente de três termos, sabendo-se que a soma desses três termos é igual a 30 e que o produto deles é 960.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento:

i) Se a PA é decrescente, então poderemos escrever os seus termos da seguinte forma:

1º termo: x+r
2º termo: x
3º termo: x-r.

ii) Como a soma desses três termos é igual a 30, então teremos:

x+r + x + x-r = 30 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
3x = 30
x = 30/3
x = 10 <--- Este será o valor de "x".

iii) Como o produto entre eles é igual a 960, então teremos isto:

(x+r)*x*(x-r) = 960 ---- como já vimos que x = 10, então vamos substituir, ficando:

(10+r)*10*(10-r) = 960 ---- note que, na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Então poderemos fazer assim:

10*(10+r)*(10-r) = 960 ---- note que, para facilitar, já poderemos dividir ambos os membros por "10", com o que ficaremos apenas com:

(10+r)*(10-r) = 96 ---- agora veja que temos o produto da soma pela diferença entre dois fatores [lembre-se que: (a+b)*(a-b) = a²-b²)]. Então, aplicando esse produto notável, teremos que:

10²-r² = 96
100 - r²  = 96 ---- passando "100" para o 2º membro, teremos:
´r² = 96 - 100 ---- como "96-100 = -4", teremos:
-r² = - 4 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
r² = 4
r =  ± √(4) ----- como √(4) = 2, teremos:
r = ± 2 ----- ou seja, teremos que:

r' = -2
r'' = 2.

iv) Agora veja que os três termos da PA serão estes, conforme tomemos um dos valores de "r" encontrados acima.

iv.1) Para r = -2 e x = 10, teríamos isto:

1º termo: x+r  ---> 10+(-2) ---> 10-2 = 8
2º termo: x -------> 10 ---------------> = 10
3º termo: x-r --> 10-(-2) = 10+2 --> = 12

iv.2) Para r = 2 e x = 10, teremos isto:

1º termo: x+r ----> 10+2 = 12 -----> = 12
2º termo: x -----------> 10 = 10 ----> = 10
3º termo: x-r ------> 10-2 = 8 -------> = 8

iv.3) Assim, como queremos que a PA seja DECRESCENTE, então vamos tomar a sequência encontrada aí no item "iv.2", que dá a PA com os seguintes termos:

(12; 10; 8).

v) Assim, como é pedido apenas o primeiro termo, então temos que o primeiro termo da PA da sua questão será:

12 <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, vamos ver se é isto é verdade mesmo:

- A soma dos três termos é igual a 30. Então:

12 + 10 + 8 = 30
30 = 30 <--- PERFEITO. Bateu.

- O produto dos três termos é igual a 960. Então:

12*10*8 = 960
960 = 960 <--- PERFEITO. Bateu também.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.